Simplifique cada expressão abaixo:
\frac{x+3}{x-4} \cdot \frac{x^{2}-8 x+16}{x^{2}-9}

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a expressão
\frac{x+3}{x-4}\;\cdot\;\frac{x^{2}-8x+16}{x^{2}-9}.
O conteúdo aqui é simplificação de frações algébricas usando fatoração e cancelamento de fatores comuns. Vamos, então, fatorar numerador e denominador onde for possível.

Passo 2

Fatoramos o polinômio do segundo numerador. Observamos que
x^{2}-8x+16
é um quadrado perfeito, pois
x^{2}-8x+16=(x-4)^{2}.

Passo 3

Fatoramos o segundo denominador, que é uma diferença de quadrados:
x^{2}-9=(x-3)(x+3).

Passo 4

Substituindo as fatorações na expressão original, temos
\frac{x+3}{x-4}\;\cdot\;\frac{(x-4)^{2}}{(x-3)(x+3)}.
Agora vemos que há um fator (x+3) no numerador e denominador, e um fator (x-4) em numerador e denominador. Cancelamos esses fatores comuns, lembrando de anotar depois as exclusões de valor para x.

Passo 5

Após o cancelamento sobra
\frac{x-4}{x-3}.
Porém, devemos excluir da solução os valores que zeram qualquer denominador antes do cancelamento, ou que anulariam fatores cancelados. São eles x=4, x=3 e x=-3.

Resposta

\frac{x+3}{x-4}\;\cdot\;\frac{x^{2}-8x+16}{x^{2}-9} =\frac{x-4}{x-3},\quad x\neq -3,\,3,\,4.

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