Simplifique cada expressão abaixo:
\left(\frac{x}{y}-\frac{y}{x}\right) \div\left(\frac{x}{y}+1\right)

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a expressão
\left(\frac{x}{y}-\frac{y}{x}\right)\div\left(\frac{x}{y}+1\right).
O conteúdo envolve operações com frações algébricas e divisão de expressões racionais. Vamos reescrever numerador e denominador com denominadores comuns, depois usar a regra de divisão de frações.

Passo 2

Reescrevemos o numerador \frac{x}{y}-\frac{y}{x} sobre um único denominador xy.
\frac{x}{y}-\frac{y}{x} =\frac{x\cdot x}{y\cdot x}-\frac{y\cdot y}{x\cdot y} =\frac{x^2 - y^2}{xy}.

Passo 3

Reescrevemos o denominador \frac{x}{y}+1 sobre o mesmo denominador y.
\frac{x}{y}+1 =\frac{x}{y}+\frac{y}{y} =\frac{x+y}{y}.

Passo 4

Aplicamos a divisão de frações:
\left(\frac{x^2 - y^2}{xy}\right)\div\left(\frac{x+y}{y}\right) =\frac{x^2 - y^2}{xy}\cdot\frac{y}{x+y}.

Passo 5

Fatoramos x^2-y^2 e simplificamos com x+y e um y:
x^2 - y^2 = (x-y)(x+y),
então
\frac{(x-y)(x+y)}{xy}\cdot\frac{y}{x+y} =\frac{x-y}{x}\cdot\frac{\cancel{x+y}}{\cancel{x+y}}\cdot\frac{\cancel{y}}{\cancel{y}} =\frac{x-y}{x}.

Resposta

\frac{x-y}{x}

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