Simplifique cada expressão e elimine qualquer expoente negativo.
i) \left(\frac{x}{2}\right)^{3}\left(5 x^{6}\right)

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a expressão \left(\frac{x}{2}\right)^{3}\left(5 x^{6}\right) e eliminar quaisquer expoentes negativos (se existissem). Informação dada: a expressão a ser simplificada é exatamente \left(\frac{x}{2}\right)^{3}\left(5 x^{6}\right).

Passo 2

Primeira regra que vamos usar: ao elevar uma fração a uma potência, a potência vai para o numerador e para o denominador separadamente. Ou seja,
\left(\frac{a}{b}\right)^{n}=\frac{a^{n}}{b^{n}},
onde a e b são números ou expressões e n é um inteiro. Aplicando isso a \left(\frac{x}{2}\right)^{3} obtemos
\left(\frac{x}{2}\right)^{3}=\frac{x^{3}}{2^{3}}.
Calcule 2^{3}. Temos
2^{3}=2\cdot2\cdot2=8.
Portanto a fração anterior vira
\frac{x^{3}}{2^{3}}=\frac{x^{3}}{8}.

Passo 3

Agora reescrevemos a expressão original usando esse resultado:
\left(\frac{x}{2}\right)^{3}\left(5 x^{6}\right)=\frac{x^{3}}{8}\cdot 5 x^{6}.
Ao multiplicar um coeficiente numérico com uma fração e com potências de x, podemos juntar os coeficientes e juntar as potências de x. Regra importante: ao multiplicar potências de mesma base, somam-se os expoentes:
x^{a}\cdot x^{b}=x^{a+b}.
Aqui temos x^{3}\cdot x^{6}=x^{3+6}=x^{9}. E os coeficientes numéricos 5 e \tfrac{1}{8} multiplicam-se para dar \tfrac{5}{8}. Assim
\frac{x^{3}}{8}\cdot 5 x^{6}=\frac{5}{8}x^{9}.

Passo 4

Verificação final: a expressão está simplificada, os coeficientes foram combinados e os expoentes de x somados. Não há expoentes negativos nesta forma. Podemos também escrever a resposta como \frac{5x^{9}}{8}, que é equivalente a \frac{5}{8}x^{9}.

Resposta

\dfrac{5}{8}x^{9}

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