Simplifique cada expressão e elimine qualquer expoente negativo.
m) \frac{\left(u^{-1} v^{2}\right)^{2}}{\left(u^{3} v^{-2}\right)^{3}}

Passo 1

O enunciado pede para simplificar e eliminar expoentes negativos da expressão
\frac{\left(u^{-1} v^{2}\right)^{2}}{\left(u^{3} v^{-2}\right)^{3}}.
Informações relevantes: temos um quociente de potências de produtos; devemos aplicar regras de potências e regras de divisão de potências para simplificar e no final não deixar expoentes negativos.

Passo 2

Revisão das regras de expoentes que vamos usar (explicação didática):
  • Regra do “potência de um produto”: \,(ab)^m = a^m b^m\,. Ou seja, quando elevamos um produto a uma potência, elevamos cada fator àquela potência.
  • Regra da “potência de potência”: \,(a^m)^n = a^{mn}\,. Multiplicamos os expoentes.
  • Regra da “divisão de potências com mesma base”: \dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}\,. Subtraímos os expoentes.
  • Significado de expoente negativo: \,a^{-m} = \dfrac{1}{a^{m}}\,. Um expoente negativo é a mesma coisa que o inverso multiplicativo.
Vou aplicar essas regras passo a passo no problema.

Passo 3

Aplicando a regra do “potência de um produto” e da “potência de potência” no numerador:
\left(u^{-1} v^{2}\right)^{2} = u^{-1\cdot 2}\, v^{2\cdot 2} = u^{-2} v^{4}.
Explicação: cada expoente dentro dos parênteses foi multiplicado por 2.

Passo 4

Aplicando a mesma ideia no denominador:
\left(u^{3} v^{-2}\right)^{3} = u^{3\cdot 3}\, v^{-2\cdot 3} = u^{9} v^{-6}.
Explicação: multiplicamos os expoentes internos por 3.

Passo 5

Agora a expressão fica
\frac{u^{-2} v^{4}}{u^{9} v^{-6}}.
Usaremos a regra da divisão de potências para simplificar cada base separadamente.

Passo 6

Simplificando a potência de u usando \dfrac{u^{m}}{u^{n}} = u^{m-n}:
\frac{u^{-2}}{u^{9}} = u^{-2-9} = u^{-11}.
Expliquei: subtraímos 9 de -2, resultando em -11.

Passo 7

Simplificando a potência de v usando a mesma regra:
\frac{v^{4}}{v^{-6}} = v^{4-(-6)} = v^{4+6} = v^{10}.
Explicação: subtrair um número negativo é somar o seu módulo.

Passo 8

Combinando os resultados obtemos
u^{-11} v^{10}.
Ainda há um expoente negativo em u^{-11}, então vamos eliminá-lo usando a^{-m}=\dfrac{1}{a^{m}}.

Passo 9

Eliminando o expoente negativo:
u^{-11} v^{10} = \frac{v^{10}}{u^{11}}.
Explicação: transferimos u^{-11} para o denominador como u^{11}.

Resposta

\displaystyle \frac{v^{10}}{u^{11}}

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