Simplifique a expressão.
c)
c)
Passo 1
O enunciado pede para simplificar a expressão
Informações dadas que vamos usar: a expressão envolve raízes quadradas e potências de
. Não foi explicitado no enunciado o domínio de
, então para trabalhar com raízes reais vou assumir que
é um número real não negativo, isto é
. Se precisar da forma correta em termos de valor absoluto eu também mostro isso depois. Agora que sabemos o que é pedido e qual suposição usaremos (
), começo a simplificar passo a passo.
Passo 2
Relembrando uma propriedade básica de radicais que vamos usar: para
e
vale
Isso é útil para separar fatores dentro da raiz quando cada fator for não negativo. Também usaremos que, para um inteiro
,
ou seja, a raiz quadrada de um quadrado é o valor absoluto do número. No caso de trabalharmos com
, temos
, o que simplifica ainda mais. Agora aplicamos essas ideias na expressão.
Passo 3
Começo por reescrever
fatorando
como
. Pela propriedade de radicais:
Aqui usei explicitamente
com
e
.
Passo 4
Agora calculo cada raiz simples:
e, em geral,
. Assim
Portanto a expressão original fica
Passo 5
Fatorando
em evidência (pois aparece em ambos os termos) temos
Essa é a forma correta e válida para números reais
não negativos ou negativos? A forma com
é correta para todo
real desde que o produto interno da raiz seja não negativo — porém aqui
exige
para trabalharmos com raízes reais; então a expressão com
e com
simultaneamente faz sentido real somente se
. Se você aceitar trabalhar com números complexos, o tratamento muda.
Passo 6
Como eu já assumi no Passo 1 que estamos simplificando no contexto de raízes reais (ou seja,
), usamos
. Substituindo isso obtemos a forma mais compacta:
Esse é o resultado prático que você deverá escrever numa prova quando o enunciado admite a manipulação de radicais em
(tipicamente assume-se
nesse tipo de exercício).