Simplifique a expressão.
c) \sqrt{9 a^{3}}+\sqrt{a}

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a expressão
\sqrt{9 a^{3}}+\sqrt{a}.
Informações dadas que vamos usar: a expressão envolve raízes quadradas e potências de a. Não foi explicitado no enunciado o domínio de a, então para trabalhar com raízes reais vou assumir que a é um número real não negativo, isto é \,a\ge 0. Se precisar da forma correta em termos de valor absoluto eu também mostro isso depois. Agora que sabemos o que é pedido e qual suposição usaremos ( a\ge 0), começo a simplificar passo a passo.

Passo 2

Relembrando uma propriedade básica de radicais que vamos usar: para x\ge 0 e y\ge 0 vale
\sqrt{xy}=\sqrt{x}\,\sqrt{y}.
Isso é útil para separar fatores dentro da raiz quando cada fator for não negativo. Também usaremos que, para um inteiro n\ge 0,
\sqrt{x^{2}}=|x|,
ou seja, a raiz quadrada de um quadrado é o valor absoluto do número. No caso de trabalharmos com a\ge 0, temos |a|=a, o que simplifica ainda mais. Agora aplicamos essas ideias na expressão.

Passo 3

Começo por reescrever \sqrt{9 a^{3}} fatorando a^{3} como a^{2}\cdot a. Pela propriedade de radicais:
\sqrt{9 a^{3}} = \sqrt{9\cdot a^{2}\cdot a} = \sqrt{9}\,\sqrt{a^{2}}\,\sqrt{a}.
Aqui usei explicitamente \sqrt{xy}=\sqrt{x}\sqrt{y} com x=9a^{2} e y=a.

Passo 4

Agora calculo cada raiz simples: \sqrt{9}=3 e, em geral, \sqrt{a^{2}}=|a|. Assim
\sqrt{9 a^{3}} = 3\,|a|\,\sqrt{a}.
Portanto a expressão original fica
\sqrt{9 a^{3}}+\sqrt{a} = 3\,|a|\,\sqrt{a} + \sqrt{a}.

Passo 5

Fatorando \sqrt{a} em evidência (pois aparece em ambos os termos) temos
3\,|a|\,\sqrt{a} + \sqrt{a} = \bigl(3\,|a| + 1\bigr)\,\sqrt{a}.
Essa é a forma correta e válida para números reais a não negativos ou negativos? A forma com |a| é correta para todo a real desde que o produto interno da raiz seja não negativo — porém aqui \sqrt{a} exige a\ge 0 para trabalharmos com raízes reais; então a expressão com |a| e com \sqrt{a} simultaneamente faz sentido real somente se a\ge 0. Se você aceitar trabalhar com números complexos, o tratamento muda.

Passo 6

Como eu já assumi no Passo 1 que estamos simplificando no contexto de raízes reais (ou seja, \,a\ge 0), usamos |a|=a. Substituindo isso obtemos a forma mais compacta:
\bigl(3\,|a| + 1\bigr)\,\sqrt{a} = \bigl(3a + 1\bigr)\,\sqrt{a}\quad\text{quando }a\ge 0.
Esse é o resultado prático que você deverá escrever numa prova quando o enunciado admite a manipulação de radicais em \mathbb{R} (tipicamente assume-se a\ge 0 nesse tipo de exercício).

Resposta

(3a+1)\sqrt{a}

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