Simplifique a expressão.
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Passo 1
O enunciado pede para simplificar a expressão
Informações relevantes que o enunciado dá:
- A expressão envolve raízes quadradas (radicais) de
e de . - Para que as raízes quadradas estejam definidas no conjunto dos números reais, devemos ter
. Vou assumir ao longo da simplificação (se a expressão não é real).
Passo 2
Regra básica que vamos usar: para números não-negativos
e
vale
Explicação didática: a raiz quadrada é a operação inversa da elevação ao quadrado. Se
e
, o produto
é não-negativo e a raiz do produto é o produto das raízes. Isso nos permite “separar” fatores dentro da raiz para extrair termos que são quadrados perfeitos.
Passo 3
Aplique a regra ao primeiro termo
. Como
e
são não-negativos (assumimos
),
Como
(porque
), obtemos
Passo 4
Agora trate o segundo termo
. Observe que
. Usando a mesma regra,
Precisamos interpretar
. Como
para todo
, temos
. Mas
sempre, então
. Portanto
e consequentemente
(Novamente, com a hipótese
isso está coerente e não precisamos colocar sinal absoluto.)
Passo 5
Agora somamos os dois resultados obtidos:
Os dois termos têm o fator comum
. Fatorando
em evidência:
Podemos reescrever em ordem usual dos polinômios como
Passo 6
Resumo conceitual rápido e exemplo: o truque foi reconhecer fatores quadrados dentro da raiz (aqui
e
) e extraí-los usando
. Exemplo similar:
, desde que
.