Simplifique a expressão.
d) \sqrt{16 x}+\sqrt{x^{5}}

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a expressão
\sqrt{16 x}+\sqrt{x^{5}}.
Informações relevantes que o enunciado dá:
  • A expressão envolve raízes quadradas (radicais) de 16x e de x^{5}.
  • Para que as raízes quadradas estejam definidas no conjunto dos números reais, devemos ter x\ge 0. Vou assumir x\ge 0 ao longo da simplificação (se x<0 a expressão não é real).

Passo 2

Regra básica que vamos usar: para números não-negativos a e b vale
\sqrt{ab}=\sqrt{a}\,\sqrt{b}.
Explicação didática: a raiz quadrada é a operação inversa da elevação ao quadrado. Se a\ge0 e b\ge0, o produto ab é não-negativo e a raiz do produto é o produto das raízes. Isso nos permite “separar” fatores dentro da raiz para extrair termos que são quadrados perfeitos.

Passo 3

Aplique a regra ao primeiro termo \sqrt{16x}. Como 16 e x são não-negativos (assumimos x\ge0),
\sqrt{16x}=\sqrt{16}\,\sqrt{x}.
Como \sqrt{16}=4 (porque 4^{2}=16), obtemos
\sqrt{16x}=4\sqrt{x}.

Passo 4

Agora trate o segundo termo \sqrt{x^{5}}. Observe que x^{5}=x^{4}\cdot x. Usando a mesma regra,
\sqrt{x^{5}}=\sqrt{x^{4}\cdot x}=\sqrt{x^{4}}\,\sqrt{x}.
Precisamos interpretar \sqrt{x^{4}}. Como x^{4}\ge0 para todo x\in\mathbb{R}, temos \sqrt{x^{4}}=|x^{2}|. Mas x^{2}\ge0 sempre, então |x^{2}|=x^{2}. Portanto
\sqrt{x^{4}}=x^{2},
e consequentemente
\sqrt{x^{5}}=x^{2}\sqrt{x}.
(Novamente, com a hipótese x\ge0 isso está coerente e não precisamos colocar sinal absoluto.)

Passo 5

Agora somamos os dois resultados obtidos:
\sqrt{16x}+\sqrt{x^{5}}=4\sqrt{x}+x^{2}\sqrt{x}.
Os dois termos têm o fator comum \sqrt{x}. Fatorando \sqrt{x} em evidência:
4\sqrt{x}+x^{2}\sqrt{x}=(4+x^{2})\sqrt{x}.
Podemos reescrever em ordem usual dos polinômios como
(x^{2}+4)\sqrt{x}.

Passo 6

Resumo conceitual rápido e exemplo: o truque foi reconhecer fatores quadrados dentro da raiz (aqui 16 e x^{4}) e extraí-los usando \sqrt{ab}=\sqrt{a}\sqrt{b}. Exemplo similar: \sqrt{9y}+\sqrt{y^{3}}=3\sqrt{y}+y\sqrt{y}=(y+3)\sqrt{y}, desde que y\ge0.

Resposta

\left(x^{2}+4\right)\sqrt{x}

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