Simplifique a expressão.
d) \sqrt[3]{a^{2} b} \sqrt[3]{64 a^{4} b}

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a expressão
\sqrt[3]{a^{2} b}\,\sqrt[3]{64 a^{4} b}.
Informações dadas: dentro das radicais cúbicas aparecem os fatores a^{2}b e 64a^{4}b. O objetivo é escrever essa expressão de forma mais simples, extraindo fatores que sejam cubos perfeitos.

Passo 2

Primeiro conceito que vamos usar: a raiz cúbica pode ser tratada como potência de expoente \tfrac{1}{3}. Ou seja,
\sqrt[3]{x}=x^{1/3}.
Com isso, quando multiplicamos duas raízes cúbicas de números positivos (ou de expressões algébricas quando faz sentido), vale a propriedade
\sqrt[3]{X}\,\sqrt[3]{Y}=\sqrt[3]{XY},
porque X^{1/3}Y^{1/3}=(XY)^{1/3}. Esta propriedade é uma aplicação da regra de potências que diz x^{r}x^{s}=x^{r+s}.

Passo 3

Aplicando essa propriedade à expressão do enunciado, juntamos as duas raízes:
\sqrt[3]{a^{2} b}\,\sqrt[3]{64 a^{4} b}=\sqrt[3]{(a^{2}b)(64a^{4}b)}.
Agora multiplicamos os fatores dentro do radical usando a regra de somar expoentes para mesma base:
(a^{2}b)(64a^{4}b)=64\,a^{2+4}\,b^{1+1}=64\,a^{6}\,b^{2}.
Portanto temos
\sqrt[3]{a^{2} b}\,\sqrt[3]{64 a^{4} b}=\sqrt[3]{64\,a^{6}\,b^{2}}.

Passo 4

Agora vamos extrair os cubos perfeitos de dentro da raiz cúbica. Dois fatos úteis:
  • 64=4^{3} porque 4^3=64.
  • a^{6}=(a^{2})^{3} porque (a^{2})^{3}=a^{2\cdot3}=a^{6}.
Assim podemos agrupar os fatores que formam um cubo perfeito:
64\,a^{6}\,b^{2}=(4^{3})(a^{6})\,b^{2}=(4^{3})(a^{2})^{3}\,b^{2}=(4a^{2})^{3}\,b^{2}.
Então
\sqrt[3]{64\,a^{6}\,b^{2}}=\sqrt[3]{(4a^{2})^{3}\,b^{2}}.

Passo 5

Usamos agora a propriedade \sqrt[3]{(Z)^{3}}=Z (para Z qualquer expressão onde isso faça sentido). Aplicando-a ao que encontramos:
\sqrt[3]{(4a^{2})^{3}\,b^{2}}=4a^{2}\,\sqrt[3]{b^{2}}.
Portanto a expressão simplificada é 4a^{2}\sqrt[3]{b^{2}}.
Como aulazinha bônus rápida: se tivéssemos \sqrt[3]{8x^{3}y^{4}}, notaríamos 8=2^{3} e x^{3}=(x)^{3}, sobrando y^{4}=y^{3}\cdot y, então
\sqrt[3]{8x^{3}y^{4}}=2x\sqrt[3]{y}.
Isso mostra a ideia geral: tirar todos os fatores cujo expoente dentro da raiz seja múltiplo de 3.

Resposta

\;4a^{2}\sqrt[3]{b^{2}}

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