Simplifique a expressão.
d)
d)
Passo 1
O enunciado pede para simplificar a expressão
Informações dadas: dentro das radicais cúbicas aparecem os fatores
e
. O objetivo é escrever essa expressão de forma mais simples, extraindo fatores que sejam cubos perfeitos.
Passo 2
Primeiro conceito que vamos usar: a raiz cúbica pode ser tratada como potência de expoente
. Ou seja,
Com isso, quando multiplicamos duas raízes cúbicas de números positivos (ou de expressões algébricas quando faz sentido), vale a propriedade
porque
. Esta propriedade é uma aplicação da regra de potências que diz
.
Passo 3
Aplicando essa propriedade à expressão do enunciado, juntamos as duas raízes:
Agora multiplicamos os fatores dentro do radical usando a regra de somar expoentes para mesma base:
Portanto temos
Passo 4
Agora vamos extrair os cubos perfeitos de dentro da raiz cúbica. Dois fatos úteis:
-
porque . -
porque .
Assim podemos agrupar os fatores que formam um cubo perfeito:
Então
Passo 5
Usamos agora a propriedade
(para
qualquer expressão onde isso faça sentido). Aplicando-a ao que encontramos:
Portanto a expressão simplificada é
.
Como aulazinha bônus rápida: se tivéssemos
, notaríamos
e
, sobrando
, então
Isso mostra a ideia geral: tirar todos os fatores cujo expoente dentro da raiz seja múltiplo de
.