Simplifique a expressão.
f) \sqrt{36 x^{2}+36 y^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a expressão \sqrt{36 x^{2}+36 y^{2}}.\nInformações dadas: dentro da raiz temos a soma de dois termos, 36x^{2} e 36y^{2}. As variáveis x e y são presumivelmente números reais. A tarefa é reescrever essa expressão de uma forma mais simples e útil para prova.

Passo 2

Procure fatores comuns dentro da raiz. Quando uma mesma constante multiplica dois termos somados, podemos fatorá-la:\n 36x^{2}+36y^{2}=36\,(x^{2}+y^{2}).
Explicando: aqui eu usei a distributiva ao contrário — tirar o fator 36 que aparece em ambos os termos.

Passo 3

Use a propriedade da raiz quadrada que permite separar um produto em produto de raízes quando os fatores são não-negativos:
\sqrt{a\cdot b}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}\quad\text{se }a\ge 0\text{ e }b\ge 0.
No nosso caso, 36\ge 0 e x^{2}+y^{2}\ge 0 (porque quadrados são não-negativos), então podemos aplicar essa propriedade com segurança.

Passo 4

Aplique a propriedade ao nosso fatorado:
\sqrt{36\,(x^{2}+y^{2})}=\sqrt{36}\cdot\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
Agora calcule \sqrt{36}. Como 36=6^{2}, a raiz quadrada principal é 6. Portanto:
\sqrt{36}\cdot\sqrt{x^{2}+y^{2}}=6\sqrt{x^{2}+y^{2}}.

Passo 5

Esclarecimento importante sobre absolutas: embora \sqrt{x^{2}}=|x|, aqui temos \sqrt{x^{2}+y^{2}}, que é diferente de |x|+|y| ou de alguma expressão linear em x e y. Não podemos simplificar mais a menos que haja informação extra sobre x e y. A forma 6\sqrt{x^{2}+y^{2}} é a simplificação correta e mais enxuta.\nPara checar com um exemplo numérico: se x=3 e y=4, então a expressão original dá\n \sqrt{36\cdot 3^{2}+36\cdot 4^{2}}=\sqrt{36\cdot 9+36\cdot 16}=\sqrt{324+576}=\sqrt{900}=30,
e a forma simplificada dá
6\sqrt{3^{2}+4^{2}}=6\sqrt{9+16}=6\sqrt{25}=6\cdot 5=30,
logo bate certinho.

Passo 6

Conclusão: a expressão simplificada é 6\sqrt{x^{2}+y^{2}}. Você já fez o passo chave que a maior parte das questões pede: fatorar e usar a propriedade da raiz. Vai com calma que você está indo bem!

Resposta

6\sqrt{x^{2}+y^{2}}

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