Simplifique a expressão e elimine os expoentes negativos. Assuma que todas as letras denotam números positivos.
c) \left(8 a^{6} b^{\frac{3}{2}}\right)^{\frac{2}{3}}

Passo 1

O enunciado pede para simplificar e eliminar expoentes negativos da expressão
\left(8 a^{6} b^{\frac{3}{2}}\right)^{\frac{2}{3}},
assumindo que todas as letras representam números positivos. Informações relevantes: a expressão dada (acima) e que a>0, b>0. A tarefa é reduzir essa expressão a uma forma mais simples, sem expoentes negativos.

Passo 2

Relembrando as regras que vamos usar (explicadas de forma prática):
(xy)^n = x^n y^n,
ou seja, uma potência de um produto distribui a potência para cada fator. Exemplo simples: (2\cdot3)^2 = 6^2 = 36 e (2)^2(3)^2 = 4\cdot9 = 36.
Outra regra importante:
(x^m)^n = x^{mn},
ou seja, potência de potência multiplica os expoentes. Exemplo: (x^2)^3 = x^{6}.
Finalmente, interpretamos expoentes fracionários como raízes:
x^{\frac{p}{q}} = \sqrt[q]{x^{p}} = \left(\sqrt[q]{x}\right)^{p}.
Como a e b são positivos, podemos tomar raízes sem precisar usar valor absoluto.

Passo 3

Aplicando a regra da potência do produto à expressão dada, distribuímos o expoente \frac{2}{3} sobre cada fator:
\left(8 a^{6} b^{\frac{3}{2}}\right)^{\frac{2}{3}} = 8^{\frac{2}{3}} \left(a^{6}\right)^{\frac{2}{3}} \left(b^{\frac{3}{2}}\right)^{\frac{2}{3}}.

Passo 4

Agora usamos a regra da potência de potência ( (x^m)^n = x^{mn}) para simplificar os expoentes:
\left(a^{6}\right)^{\frac{2}{3}} = a^{6\cdot\frac{2}{3}} = a^{4},
\left(b^{\frac{3}{2}}\right)^{\frac{2}{3}} = b^{\frac{3}{2}\cdot\frac{2}{3}} = b^{1} = b.
Para 8^{\frac{2}{3}} podemos usar a interpretação radical: 8^{\frac{2}{3}} = \left(8^{\frac{1}{3}}\right)^{2}. Como a raiz cúbica de 8 é 2, temos
8^{\frac{2}{3}} = 2^{2} = 4.

Passo 5

Juntando os resultados dos passos anteriores obtemos
8^{\frac{2}{3}} \left(a^{6}\right)^{\frac{2}{3}} \left(b^{\frac{3}{2}}\right)^{\frac{2}{3}} = 4 \cdot a^{4} \cdot b.
Não há expoentes negativos nesta forma final, portanto a condição de “eliminar expoentes negativos” já está satisfeita.

Resposta

4 a^{4} b

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