Verifique se a igualdade \frac{1+\sin x}{\cos x}=\frac{\cos x}{1+\sin (-x)} é verdadeira ou falsa.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se
\frac{1+\sin x}{\cos x} \;=\;\frac{\cos x}{1+\sin(-x)}
é uma identidade trigonométrica. Vamos usar as identidades
\sin(-x)=-\sin x e \sin^2 x+\cos^2 x=1.

Passo 2

Aplicando \sin(-x)=-\sin x no denominador do lado direito, obtemos
\frac{\cos x}{1+\sin(-x)} =\frac{\cos x}{1-\sin x}.

Passo 3

Para checar a igualdade, igualamos as duas frações e fazemos produto cruzado:
\frac{1+\sin x}{\cos x} =\frac{\cos x}{1-\sin x} \quad\Longleftrightarrow\quad (1+\sin x)(1-\sin x)=\cos x\cdot\cos x.

Passo 4

No lado esquerdo aparece 1-\sin^2 x, e sabemos que
1-\sin^2 x=\cos^2 x.
Logo o produto cruzado dá
(1+\sin x)(1-\sin x)=1-\sin^2 x=\cos^2 x,
confirmando a igualdade.

Passo 5

A identidade vale sempre que as frações estiverem bem definidas, ou seja,
\cos x\neq0 e 1-\sin x\neq0. Note que \sin x=1 implica \cos x=0, então basta exigir
\cos x\neq0, isto é
x\neq \frac{\pi}{2}+k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}.

Resposta

A igualdade é verdadeira para todo x tal que \cos x\neq0.

Exercícios relacionados