Simplifique as expressões algébricas abaixo:
Passo 1
O enunciado pede para simplificar a expressão racional abaixo:
Informações dadas:
- Numerador:
. - Denominador:
.
A tarefa é reduzir essa fração ao máximo, escrevendo a expressão equivalente mais simples possível (e indicando restrições de domínio, se houver).
Passo 2
Ideia geral (explicação didática): quando temos polinômios no numerador e denominador, uma técnica muito usada é fatorar ambos e então cancelar fatores comuns. Para fatorar polinômios de grau 3 como o numerador, um método simples e prático é a fatoração por agrupamento: agrupar termos em pares que tenham fator comum e finalmente extrair um fator comum entre os dois grupos. Vou aplicar isso passo a passo.
Passo 3
Fatoração do numerador por agrupamento. Pegamos o numerador e agrupamos termos:
Agora fatoramos cada grupo separadamente:
- No primeiro grupo
há fator comum , então
- No segundo grupo
há fator comum (ou ), então
Juntando os dois resultados:
Passo 4
Agora extraímos o fator comum
entre os dois termos resultantes:
Portanto o numerador fatorado é
Passo 5
Fatoração do denominador. Observando o denominador:
Já temos ambos fatorados, então a expressão original fica:
Passo 6
Cancelamento de fator comum (explicação didática): quando uma mesma expressão aparece multiplicando numerador e denominador, podemos simplificar cancelando esse fator, desde que não seja zero (pois divisão por zero é proibida). Aqui o fator comum é
. Cancelando-o obtemos
Também é importante observar que o denominador original tinha fator
, então
também é proibido. Assim as restrições são
e
.
Passo 7
Forma alternativa e interpretação: a fração
pode ser escrita separando termos:
o que às vezes é mais conveniente para avaliar limites ou ver comportamento para
grande.
Passo 8
Verificação numérica rápida (exemplo didático): para checar que a simplificação está correta, escolha um valor permitido, por exemplo
.
- Avaliando a expressão original:
- Avaliando a expressão simplificada:
Coincidem, o que confirma a simplificação (para
permitido).