Simplifique as expressões algébricas abaixo:
\frac{x^{3}+2 x^{2}-3 x-6}{x^{3}+2 x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a expressão racional abaixo:
\frac{x^{3}+2x^{2}-3x-6}{x^{3}+2x^{2}}.
Informações dadas:
  • Numerador: \,x^{3}+2x^{2}-3x-6.
  • Denominador: \,x^{3}+2x^{2}.
    A tarefa é reduzir essa fração ao máximo, escrevendo a expressão equivalente mais simples possível (e indicando restrições de domínio, se houver).

Passo 2

Ideia geral (explicação didática): quando temos polinômios no numerador e denominador, uma técnica muito usada é fatorar ambos e então cancelar fatores comuns. Para fatorar polinômios de grau 3 como o numerador, um método simples e prático é a fatoração por agrupamento: agrupar termos em pares que tenham fator comum e finalmente extrair um fator comum entre os dois grupos. Vou aplicar isso passo a passo.

Passo 3

Fatoração do numerador por agrupamento. Pegamos o numerador e agrupamos termos:
x^{3}+2x^{2}-3x-6=(x^{3}+2x^{2})+(-3x-6).
Agora fatoramos cada grupo separadamente:
  • No primeiro grupo x^{3}+2x^{2} há fator comum x^{2}, então
x^{3}+2x^{2}=x^{2}(x+2).
  • No segundo grupo -3x-6 há fator comum -3 (ou -3\cdot (x+2) ), então
-3x-6=-3(x+2).
Juntando os dois resultados:
x^{3}+2x^{2}-3x-6 = x^{2}(x+2) - 3(x+2).

Passo 4

Agora extraímos o fator comum (x+2) entre os dois termos resultantes:
x^{2}(x+2) - 3(x+2) = (x+2)\bigl(x^{2}-3\bigr).
Portanto o numerador fatorado é
x^{3}+2x^{2}-3x-6 = (x+2)\bigl(x^{2}-3\bigr).

Passo 5

Fatoração do denominador. Observando o denominador:
x^{3}+2x^{2}=x^{2}(x+2).
Já temos ambos fatorados, então a expressão original fica:
\frac{x^{3}+2x^{2}-3x-6}{x^{3}+2x^{2}}=\frac{(x+2)\bigl(x^{2}-3\bigr)}{x^{2}(x+2)}.

Passo 6

Cancelamento de fator comum (explicação didática): quando uma mesma expressão aparece multiplicando numerador e denominador, podemos simplificar cancelando esse fator, desde que não seja zero (pois divisão por zero é proibida). Aqui o fator comum é (x+2). Cancelando-o obtemos
\frac{(x+2)\bigl(x^{2}-3\bigr)}{x^{2}(x+2)} = \frac{x^{2}-3}{x^{2}}, \qquad\text{desde que }x+2\neq0.
Também é importante observar que o denominador original tinha fator x^{2}, então x\neq0 também é proibido. Assim as restrições são x\neq -2 e x\neq 0.

Passo 7

Forma alternativa e interpretação: a fração \dfrac{x^{2}-3}{x^{2}} pode ser escrita separando termos:
\frac{x^{2}-3}{x^{2}}=1-\frac{3}{x^{2}},
o que às vezes é mais conveniente para avaliar limites ou ver comportamento para x grande.

Passo 8

Verificação numérica rápida (exemplo didático): para checar que a simplificação está correta, escolha um valor permitido, por exemplo x=3.
  • Avaliando a expressão original:
\frac{3^{3}+2\cdot3^{2}-3\cdot3-6}{3^{3}+2\cdot3^{2}} =\frac{27+18-9-6}{27+18}=\frac{30}{45}=\frac{2}{3}.
  • Avaliando a expressão simplificada:
\frac{3^{2}-3}{3^{2}}=\frac{9-3}{9}=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}.
Coincidem, o que confirma a simplificação (para x permitido).

Resposta

\dfrac{x^{2}-3}{x^{2}},\quad x\neq0,\\ x\neq-2

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