Use a identidade
para simplificar:
;
Passo 1
O que o enunciado pede: simplificar a expressão
.
Informações dadas (convenções que vamos usar):
- Está implícita a convenção de soma de Einstein: índices repetidos são somados de
a . -
é o símbolo de Levi-Civita em dimensão . - Queremos reduzir essa contração completa de índices a um número.
Passo 2
Definições importantes (para eu te lembrar passo a passo):
- O símbolo de Levi-Civita
vale se é uma permutação par de , vale se for permutação ímpar, e vale se qualquer par de índices se repetir. - O delta de Kronecker
vale se e se .
Passo 3
Identidade padrão (contracção em um índice) que vamos usar:
Explicando a identidade: ao contrair o terceiro índice (a soma sobre
), o produto de dois
transforma-se em combinação de produtos de deltas de Kronecker. Essa é uma identidade clássica e muito útil para simplificações com tensores totalmente antissimétricos.
Passo 4
Aplicando a identidade ao nosso caso: identifica-se
,
,
,
e
. Assim obtemos
Passo 5
Avaliar o primeiro termo
.
Usando soma sobre
e
:
pois
vale
ou
. Somando sobre
:
Portanto
.
Passo 6
Avaliar o segundo termo
.
Cada soma de delta com índices repetidos dá o traço da unidade:
Como ambos são somados independentemente, o produto é
Passo 7
Substituindo os valores obtidos em
temos
Passo 8
Cheque rápido (intuitivo): como
pela antissimetria,
E
é a soma de
para cada permutação não nula (há
tais permutações), logo vale
. Assim obtemos novamente
.