Use a identidade \epsilon-\delta para simplificar:
\epsilon_{i j k} \epsilon_{j i k};

Passo 1

O que o enunciado pede: simplificar a expressão \epsilon_{i j k} \epsilon_{j i k}.
Informações dadas (convenções que vamos usar):
  • Está implícita a convenção de soma de Einstein: índices repetidos são somados de 1 a 3.
  • \epsilon_{i j k} é o símbolo de Levi-Civita em dimensão 3.
  • Queremos reduzir essa contração completa de índices a um número.

Passo 2

Definições importantes (para eu te lembrar passo a passo):
  • O símbolo de Levi-Civita \epsilon_{i j k} vale +1 se (i,j,k) é uma permutação par de (1,2,3), vale -1 se for permutação ímpar, e vale 0 se qualquer par de índices se repetir.
  • O delta de Kronecker \delta_{i j} vale 1 se i=j e 0 se i\ne j.

Passo 3

Identidade padrão (contracção em um índice) que vamos usar:
\epsilon_{a b c}\,\epsilon_{d e c} = \delta_{a d}\,\delta_{b e} - \delta_{a e}\,\delta_{b d}.
Explicando a identidade: ao contrair o terceiro índice (a soma sobre c), o produto de dois \epsilon transforma-se em combinação de produtos de deltas de Kronecker. Essa é uma identidade clássica e muito útil para simplificações com tensores totalmente antissimétricos.

Passo 4

Aplicando a identidade ao nosso caso: identifica-se a=i, b=j, d=j, e=i e c=k. Assim obtemos
\epsilon_{i j k}\,\epsilon_{j i k} = \delta_{i j}\,\delta_{j i} - \delta_{i i}\,\delta_{j j}.

Passo 5

Avaliar o primeiro termo \delta_{i j}\,\delta_{j i}.
Usando soma sobre i e j:
\delta_{i j}\,\delta_{j i} = \delta_{i j}^2 = \delta_{i j},
pois \delta_{i j} vale 0 ou 1. Somando sobre i,j:
\sum_{i=1}^{3}\sum_{j=1}^{3}\delta_{i j} = \sum_{i=1}^{3}1 = 3.
Portanto \delta_{i j}\,\delta_{j i} = 3.

Passo 6

Avaliar o segundo termo \delta_{i i}\,\delta_{j j}.
Cada soma de delta com índices repetidos dá o traço da unidade:
\delta_{i i} = \sum_{i=1}^{3}\delta_{i i} = 3, \qquad \delta_{j j} = \sum_{j=1}^{3}\delta_{j j} = 3.
Como ambos são somados independentemente, o produto é
\delta_{i i}\,\delta_{j j} = 3\cdot 3 = 9.

Passo 7

Substituindo os valores obtidos em \epsilon_{i j k}\,\epsilon_{j i k} = \delta_{i j}\,\delta_{j i} - \delta_{i i}\,\delta_{j j} temos
\epsilon_{i j k}\,\epsilon_{j i k} = 3 - 9 = -6.

Passo 8

Cheque rápido (intuitivo): como \epsilon_{j i k} = -\epsilon_{i j k} pela antissimetria,
\epsilon_{i j k}\,\epsilon_{j i k} = -\,\epsilon_{i j k}\,\epsilon_{i j k}.
E \epsilon_{i j k}\,\epsilon_{i j k} é a soma de 1 para cada permutação não nula (há 3! = 6 tais permutações), logo vale 6. Assim obtemos novamente -6.

Resposta

-6

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