Simplifique as expressões:
;
Passo 1
O enunciado pede para simplificar a expressão
.
As informações dadas são exatamente esses símbolos com índices ,
,
e
. Não há outras condições explícitas, então assumimos o costumeiro somatório de Einstein sobre índices repetidos e que os índices variam em
.
As informações dadas são exatamente esses símbolos com índices
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que cada símbolo significa (sem pressa — é essencial para sair da prova confiante).
- A
Ou seja, é um “filtro” que deixa passar apenas os termos com
é o símbolo de Levi-Civita (ou tensor completamente antissimétrico). Suas propriedades principais:
-se dois índices forem iguais.
-, e permutações ímpares trocam o sinal (por exemplo ).
- A convenção de soma de Einstein diz que quando um índice aparece duas vezes (um acima e um abaixo, ou aqui ambos em baixo, mas repetido) se entende soma sobre esse índice. Aqui oaparece repetido, então há soma sobre : ]
Passo 3
Agora aplicamos a propriedade do delta de Kronecker dentro da soma. Escrevendo a soma explicitamente:
Como
para todo
diferente de
, apenas o termo com
contribui. Portanto a soma reduz-se ao único termo
:
Isto é o uso direto do fato de que
“substitui” o índice
por
.
Passo 4
Uma forma compacta e útil de pensar nisso é: o delta de Kronecker atua como a matriz identidade nos índices, ou seja,
logo contrair
com qualquer tensor substitui
por
. Assim obtemos imediatamente
. Podemos checar com um exemplo numérico para ficar tranquilo: escolha
. Então
e isso coincide com
.