Simplifique as expressões:
\epsilon_{i j k} \delta_{k n};

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a expressão \epsilon_{i j k} \delta_{k n}.
As informações dadas são exatamente esses símbolos com índices i, j, k e n. Não há outras condições explícitas, então assumimos o costumeiro somatório de Einstein sobre índices repetidos e que os índices variam em \{1,2,3\}.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que cada símbolo significa (sem pressa — é essencial para sair da prova confiante).
  • A \delta_{k n}\) é o delta de Kronecker. Isso significa que \[\delta_{k n} = \begin{cases} 1 & \text{se } k = n,\\[4pt] 0 & \text{se } k \neq n. \end{cases}Ou seja, é um “filtro” que deixa passar apenas os termos com k=n\]. - A \(\epsilon_{i j k} é o símbolo de Levi-Civita (ou tensor completamente antissimétrico). Suas propriedades principais:
    - \epsilon_{i j k} = 0 se dois índices forem iguais.
    - \epsilon_{123}=1, e permutações ímpares trocam o sinal (por exemplo \epsilon_{213}=-1).
    - A convenção de soma de Einstein diz que quando um índice aparece duas vezes (um acima e um abaixo, ou aqui ambos em baixo, mas repetido) se entende soma sobre esse índice. Aqui o k aparece repetido, então há soma sobre k=1,2,3: \epsilon_{i j k}\delta_{k n} \equiv \sum_{k=1}^{3}\epsilon_{i j k}\delta_{k n}.]

Passo 3

Agora aplicamos a propriedade do delta de Kronecker dentro da soma. Escrevendo a soma explicitamente:
\epsilon_{i j k}\delta_{k n}=\sum_{k=1}^{3}\epsilon_{i j k}\delta_{k n}.
Como \delta_{k n}=0 para todo k diferente de n, apenas o termo com k=n contribui. Portanto a soma reduz-se ao único termo k=n:
\sum_{k=1}^{3}\epsilon_{i j k}\delta_{k n}=\epsilon_{i j n}.
Isto é o uso direto do fato de que \delta “substitui” o índice k por n.

Passo 4

Uma forma compacta e útil de pensar nisso é: o delta de Kronecker atua como a matriz identidade nos índices, ou seja,
\delta_{k n} \\ \text{age como}\\ k\mapsto n,
logo contrair \delta_{k n} com qualquer tensor substitui k por n. Assim obtemos imediatamente \epsilon_{i j n}. Podemos checar com um exemplo numérico para ficar tranquilo: escolha i=1,j=2,n=3. Então
\sum_{k}\epsilon_{1 2 k}\delta_{k 3}=\epsilon_{1 2 3}\delta_{3 3}=\epsilon_{1 2 3}\cdot 1=1,
e isso coincide com \epsilon_{1 2 3}.

Resposta

\epsilon_{i j n}

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