Simplifique as expressōes.
\frac{6 \sqrt{5} \sqrt{10}}{\sqrt{2}}

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a expressão
\frac{6\sqrt{5}\sqrt{10}}{\sqrt{2}}.
Informações dadas:
  • Numerador: 6\sqrt{5}\sqrt{10}.
  • Denominador: \sqrt{2}.
    Objetivo: reduzir essa expressão a uma forma mais simples (sem radicais desnecessários e, se possível, um número inteiro ou uma expressão com menos raízes).

Passo 2

Regra útil que vamos usar: para números não-negativos a e b,
\sqrt{a}\,\sqrt{b}=\sqrt{ab}.
Explicação: a raiz quadrada é a função inversa do quadrado para números não-negativos. Multiplicar duas raízes equivale a tirar a raiz do produto, porque (\sqrt{a}\,\sqrt{b})^2 = a b, logo \sqrt{a}\,\sqrt{b} é a raiz positiva de ab. Exemplo rápido: \sqrt{3}\sqrt{12}=\sqrt{36}=6.

Passo 3

Aplicando a regra ao produto \sqrt{5}\sqrt{10}:
\sqrt{5}\sqrt{10}=\sqrt{5\cdot10}=\sqrt{50}.

Passo 4

Agora simplificamos \sqrt{50} identificando fatores quadrados perfeitos. Escrevemos 50=25\cdot2, e usamos a propriedade
\sqrt{mn}=\sqrt{m}\sqrt{n}
para m=25 e n=2. Assim,
\sqrt{50}=\sqrt{25\cdot2}=\sqrt{25}\sqrt{2}=5\sqrt{2}.
Motivação: extraiu-se o fator 25 que é quadrado perfeito ( \sqrt{25}=5).

Passo 5

Substituindo no numerador:
6\sqrt{5}\sqrt{10}=6\sqrt{50}=6\cdot(5\sqrt{2})=30\sqrt{2}.

Passo 6

Agora dividimos pelo denominador \sqrt{2}:
\frac{30\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=30\cdot\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=30\cdot1=30,
pois \sqrt{2}\neq0 e portanto \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=1.

Passo 7

Resumo final do raciocínio: juntamos as raízes, extraímos o quadrado perfeito e cancelamos a \sqrt{2} no numerador e denominador, obtendo um número inteiro.

Resposta

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