Simplifique as expressōes.
\frac{\sqrt[3]{16}}{\sqrt[3]{54}}

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a expressão \frac{\sqrt[3]{16}}{\sqrt[3]{54}}. Informações dadas:
  • Numerador: \sqrt[3]{16}.
  • Denominador: \sqrt[3]{54}.
  • Objetivo: escrever a expressão numa forma mais simples (se possível sem radicais).

Passo 2

Vamos usar a regra das raízes de mesma ordem. Regra: para n-ésima raiz de números positivos (ou em geral quando as raízes estão bem definidas),
\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}},
com b\neq0. Explicação rápida e tranquila: \sqrt[n]{a} é o mesmo que a^{1/n}. Então
\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \frac{a^{1/n}}{b^{1/n}} = \left(\frac{a}{b}\right)^{1/n} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}}.
Aqui a e b são os números dentro das raízes e n é o índice da raiz (no nosso caso n=3).

Passo 3

Aplicando essa propriedade ao problema (peguei os números do enunciado):
\frac{\sqrt[3]{16}}{\sqrt[3]{54}} = \sqrt[3]{\frac{16}{54}}.

Passo 4

Agora simplifico a fração \dfrac{16}{54}. Podemos dividir numerador e denominador por 2:
\frac{16}{54} = \frac{16\div 2}{54\div 2} = \frac{8}{27}.
Observação útil: em fatoração, 16=2^4 e 54=2\cdot3^3; ao cancelar o fator 2 sobra 8=2^3 e 27=3^3, o que fica bem simpático para raízes cúbicas.

Passo 5

Então a expressão ficou
\sqrt[3]{\frac{8}{27}}.
Como a raiz cúbica de um quociente é o quociente das raízes cúbicas, temos
\sqrt[3]{\frac{8}{27}} = \frac{\sqrt[3]{8}}{\sqrt[3]{27}}.
E como \sqrt[3]{8}=2 (pois 2^3=8) e \sqrt[3]{27}=3 (pois 3^3=27), chegamos à forma final sem radical.

Resposta

\frac{2}{3}

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