Simplifique as expressões:
\frac{x^{2}+5 x+6}{x^{2}+3 x+2} \cdot \frac{x^{2}-1}{x^{2}-4}

Passo 1

O que o enunciado pede: simplificar a expressão racional
\frac{x^{2}+5 x+6}{x^{2}+3 x+2} \cdot \frac{x^{2}-1}{x^{2}-4}.
Informações dadas (polinômios envolvidos):
  • Primeiro numerador: x^{2}+5x+6.
  • Primeiro denominador: x^{2}+3x+2.
  • Segundo numerador: x^{2}-1.
  • Segundo denominador: x^{2}-4.
O objetivo é escrever essa expressão numa forma mais simples, cancelando fatores comuns sempre respeitando as restrições de domínio (valores de x que tornam algum denominador zero).

Passo 2

Fatorar o primeiro numerador x^{2}+5x+6.
Como fatorar um trinômio quadrático do tipo x^{2}+bx+c? Procura-se dois números que multiplicam para c e somam para b.
Aqui b=5 e c=6. Dois números que multiplicam para 6 e somam para 5 são 2 e 3. Portanto
x^{2}+5x+6=(x+2)(x+3).

Passo 3

Fatorar o primeiro denominador x^{2}+3x+2.
Usando o mesmo procedimento: b=3, c=2. Números que multiplicam para 2 e somam para 3 são 1 e 2. Assim
x^{2}+3x+2=(x+1)(x+2).

Passo 4

Fatorar o segundo numerador x^{2}-1.
Aqui reconhece-se uma diferença de quadrados: a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b). Com a=x e b=1,
x^{2}-1=(x-1)(x+1).

Passo 5

Fatorar o segundo denominador x^{2}-4.
Também é diferença de quadrados com a=x e b=2:
x^{2}-4=(x-2)(x+2).

Passo 6

Substituir todas as fatorações na expressão original e escrever o produto em forma fatorada.
Substituindo:
\frac{(x+2)(x+3)}{(x+1)(x+2)} \cdot \frac{(x-1)(x+1)}{(x-2)(x+2)}.
Agrupando numerador e denominador:
\frac{(x+2)(x+3)(x-1)(x+1)}{(x+1)(x+2)(x-2)(x+2)}.

Passo 7

Cancelar fatores comuns (lembrando: só se pode cancelar fatores que são não nulos — depois iremos anotar as restrições de x).
No numerador temos fatores (x+2) e (x+1). No denominador há (x+1) e (x+2) (note que (x+2) aparece duas vezes no denominador porque vem de ambos os denominadores originais). Cancelando um fator (x+1) e um fator (x+2), sob a condição de que esses fatores não sejam zero, fica:
\frac{(x+3)(x-1)}{(x-2)(x+2)}.
É boa prática deixar em forma fatorada porque é mais claro quais fatores permanecem.

Passo 8

Anotar as restrições de domínio (valores proibidos de x) que vieram dos denominadores originais.
Os denominadores originais eram x^{2}+3x+2 e x^{2}-4. Zerar cada um dá:
x^{2}+3x+2=0 \Rightarrow x=-1,\\\ -2,
x^{2}-4=0 \Rightarrow x=2,\\\ -2.
Portanto, os valores proibidos são x=-2,\\\ -1,\\\ 2. Mesmo que após o cancelamento a forma simplificada não apresente um destes fatores no denominador final, esses valores continuam proibidos porque fariam algum denominador original ser zero.

Passo 9

Opcional: escrever a forma expandida da fração simplificada (se preferir ver como polinômio/quociente):
(x+3)(x-1)=x^{2}+2x-3, \qquad (x-2)(x+2)=x^{2}-4,
logo a forma expandida é
\frac{x^{2}+2x-3}{x^{2}-4},
com as mesmas restrições x\neq -2,-1,2.

Resposta

\displaystyle \frac{(x+3)(x-1)}{(x-2)(x+2)} (com x\neq -2,\,-1,\,2)

Exercícios relacionados