Simplifique as expressões:
Passo 1
O que o enunciado pede: simplificar a expressão racional
Informações dadas (polinômios envolvidos):
- Primeiro numerador:
. - Primeiro denominador:
. - Segundo numerador:
. - Segundo denominador:
.
O objetivo é escrever essa expressão numa forma mais simples, cancelando fatores comuns sempre respeitando as restrições de domínio (valores de
que tornam algum denominador zero).
Passo 2
Fatorar o primeiro numerador
.
Como fatorar um trinômio quadrático do tipo
? Procura-se dois números que multiplicam para
e somam para
.
Aqui
e
. Dois números que multiplicam para
e somam para
são
e
. Portanto
Passo 3
Fatorar o primeiro denominador
.
Usando o mesmo procedimento:
,
. Números que multiplicam para
e somam para
são
e
. Assim
Passo 4
Fatorar o segundo numerador
.
Aqui reconhece-se uma diferença de quadrados:
. Com
e
,
Passo 5
Fatorar o segundo denominador
.
Também é diferença de quadrados com
e
:
Passo 6
Substituir todas as fatorações na expressão original e escrever o produto em forma fatorada.
Substituindo:
Agrupando numerador e denominador:
Passo 7
Cancelar fatores comuns (lembrando: só se pode cancelar fatores que são não nulos — depois iremos anotar as restrições de
).
No numerador temos fatores
e
. No denominador há
e
(note que
aparece duas vezes no denominador porque vem de ambos os denominadores originais). Cancelando um fator
e um fator
, sob a condição de que esses fatores não sejam zero, fica:
É boa prática deixar em forma fatorada porque é mais claro quais fatores permanecem.
Passo 8
Anotar as restrições de domínio (valores proibidos de
) que vieram dos denominadores originais.
Os denominadores originais eram
e
. Zerar cada um dá:
Portanto, os valores proibidos são
. Mesmo que após o cancelamento a forma simplificada não apresente um destes fatores no denominador final, esses valores continuam proibidos porque fariam algum denominador original ser zero.
Passo 9
Opcional: escrever a forma expandida da fração simplificada (se preferir ver como polinômio/quociente):
logo a forma expandida é
com as mesmas restrições
.