Simplifique as expressões lógicas abaixo utilizando as propriedades da álgebra booleana e mapa de Karnaugh (para expressões de até 4 variáveis):
\bar{C} \cdot \bar{D} \cdot(A+D)+\bar{B} \cdot E \cdot(\bar{F}+F \cdot E)

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Dada a expressão
\bar{C}\cdot\bar{D}\cdot(A+D)+\bar{B}\cdot E\cdot(\bar{F}+F\cdot E)
  • O pedido é simplificar essa expressão usando propriedades da álgebra booleana (e mapa de Karnaugh quando aplicável).
Informações relevantes que temos:
  • As variáveis são A,B,C,D,E,F.
  • O símbolo de complemento é a barra, por exemplo \bar{C} é o complemento de C.
  • Os produtos escritos sem operador podem ser interpretados como conjunção (AND); usarei concatenação e, quando quiser, o ponto para clareza.
  • Vamos simplificar termo a termo e depois combinar; não há figura/tabela a usar.

Passo 2

Relembrando as propriedades/identidades da álgebra booleana que vou usar (com explicação simples e exemplo rápido para cada uma):
  • Complementaridade: X+\bar{X}=1,\qquad X\cdot\bar{X}=0.Ex.: D\cdot\bar{D}=0.
  • Idempotência: X\cdot X = X,\qquad X+X=X.Ex.: E\cdot E = E.
  • Distributiva (duas formas úteis): X(Y+Z)=XY+XZ,\qquad X+YZ=(X+Y)(X+Z).Ex.: \bar{D}(A+D)=\bar{D}A+\bar{D}D.
  • Absorção: X + X Y = X,\qquad X(X+Y)=X.Ex.: \bar{B}E + \bar{B}E\bar{F} = \bar{B}E.
    Essas são as ferramentas que usarei passo a passo — não precisa decorar tudo de vez, vou aplicar e explicar conforme avançamos.

Passo 3

Simplifico o primeiro termo \bar{C}\cdot\bar{D}\cdot(A+D).
Aplicando distributiva (ou observando que \bar{D} vezes D anula o termo):
\bar{C}\bar{D}(A+D)=\bar{C}\bar{D}A+\bar{C}\bar{D}D.
Pelo princípio da complementaridade \bar{D}D=0, logo
\bar{C}\bar{D}D= \bar{C}\cdot 0 = 0.
Portanto sobra
\bar{C}\bar{D}(A+D)=\bar{C}\bar{D}A.
(Comentário prático: quando um fator global contém \bar{D}, qualquer soma que inclua D não contribui porque \bar{D}D=0.)

Passo 4

Agora simplifico o segundo termo \bar{B}\cdot E\cdot(\bar{F}+F\cdot E).
Primeiro simplifico a soma interna \bar{F}+F\cdot E. Uso a forma distributiva X+YZ=(X+Y)(X+Z) com X=\bar{F},Y=F,Z=E:
\bar{F}+F E=(\bar{F}+F)(\bar{F}+E).
Como \bar{F}+F=1 (complementaridade), isso vira
(\bar{F}+F)(\bar{F}+E)=1\cdot(\bar{F}+E)=\bar{F}+E.
Então o segundo termo fica
\bar{B}E(\bar{F}+F E)=\bar{B}E(\bar{F}+E).

Passo 5

Continuando a expansão do segundo termo:
\bar{B}E(\bar{F}+E)=\bar{B}E\bar{F}+\bar{B}E\cdot E.
Pelo idempotente E\cdot E=E, temos
\bar{B}E\bar{F}+\bar{B}E.
Agora uso a absorção X+XY=X com X=\bar{B}E e Y=\bar{F}:
\bar{B}E + \bar{B}E\bar{F} = \bar{B}E.
Portanto o segundo termo simplifica para
\bar{B}E.

Passo 6

Reunindo os resultados dos dois termos:
  • Primeiro termo simplificado: \bar{C}\bar{D}A.
  • Segundo termo simplificado: \bar{B}E.
Assim a expressão original reduz a
\bar{C}\bar{D}A + \bar{B}E.

Passo 7

Verificação rápida de possibilidade de nova simplificação:
  • As duas parcelas \bar{C}\bar{D}A e \bar{B}E não compartilham fatores simples que permitam absorção ou combinação direta (por exemplo, não existe X tal que uma parcela seja X e a outra contenha X multiplicado por algo).
  • Logo a forma obtida é a forma mínima pela manipulação algébrica direta.

Resposta

\bar{C}\bar{D}A+\bar{B}E

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