Simplifique as expressões lógicas abaixo utilizando as propriedades da álgebra booleana e mapa de Karnaugh (para expressões de até 4 variáveis):
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- Dada a expressão
- O pedido é simplificar essa expressão usando propriedades da álgebra booleana (e mapa de Karnaugh quando aplicável).
Informações relevantes que temos:
- As variáveis são
. - O símbolo de complemento é a barra, por exemplo
é o complemento de . - Os produtos escritos sem operador podem ser interpretados como conjunção (AND); usarei concatenação e, quando quiser, o ponto para clareza.
- Vamos simplificar termo a termo e depois combinar; não há figura/tabela a usar.
Passo 2
Relembrando as propriedades/identidades da álgebra booleana que vou usar (com explicação simples e exemplo rápido para cada uma):
- Complementaridade:
Ex.: . - Idempotência:
Ex.: . - Distributiva (duas formas úteis):
Ex.: . - Absorção:
Ex.: .
Essas são as ferramentas que usarei passo a passo — não precisa decorar tudo de vez, vou aplicar e explicar conforme avançamos.
Passo 3
Simplifico o primeiro termo
.
Aplicando distributiva (ou observando que
vezes
anula o termo):
Pelo princípio da complementaridade
, logo
Portanto sobra
(Comentário prático: quando um fator global contém
, qualquer soma que inclua
não contribui porque
.)
Passo 4
Agora simplifico o segundo termo
.
Primeiro simplifico a soma interna
. Uso a forma distributiva
com
:
Como
(complementaridade), isso vira
Então o segundo termo fica
Passo 5
Continuando a expansão do segundo termo:
Pelo idempotente
, temos
Agora uso a absorção
com
e
:
Portanto o segundo termo simplifica para
Passo 6
Reunindo os resultados dos dois termos:
- Primeiro termo simplificado:
. - Segundo termo simplificado:
.
Assim a expressão original reduz a
Passo 7
Verificação rápida de possibilidade de nova simplificação:
- As duas parcelas
e não compartilham fatores simples que permitam absorção ou combinação direta (por exemplo, não existe tal que uma parcela seja e a outra contenha multiplicado por algo). - Logo a forma obtida é a forma mínima pela manipulação algébrica direta.