Simplifique as expressões lógicas abaixo utilizando as propriedades da álgebra booleana e mapa de Karnaugh (para expressões de até 4 variáveis): A . B+\overline{A . B} \cdot C
Passo 1
O enunciado dá a expressão booleana a ser simplificada:
A\cdot B + \overline{A\cdot B}\cdot C
O pedido é simplificar essa expressão usando álgebra booleana (e, se útil, mapa de Karnaugh). Vou listar o que temos explicitamente:
As variáveis são A, B e C.
A expressão tem a forma X + \overline{X}\cdot C com X = A\cdot B.
O objetivo final é escrever a forma mais simples equivalente dessa expressão.
Passo 2
Lembrete rápido de identidades que vou usar (explicando de forma bem mastigada):
Complemento: \overline{X} é o NÃO de X.
Complementaridade: X + \overline{X} = 1.
Distributiva (uma forma útil): P + Q\cdot R = (P + Q)\cdot(P + R). Essa identidade é análoga à distributiva da álgebra normal; em booleano vale também.
Identidade que será central aqui: para qualquer X e Y vale
X + \overline{X}\cdot Y = X + Y.
Prova curta dessa identidade (para você ter confiança): aplique a distributiva com P=X, Q=\overline{X}, R=Y:
X + \overline{X}\cdot Y = (X + \overline{X})\cdot (X + Y) = 1\cdot (X + Y) = X + Y.
Usamos que X + \overline{X} = 1. Simples e poderoso.
Passo 3
Aplicando a identidade ao nosso caso:
Defina X = A\cdot B. Então a expressão original é
X + \overline{X}\cdot C.
Pelo resultado do passo anterior, isso simplifica para
X + C.
Agora volte ao nome original de X: X = A\cdot B. Assim obtemos
A\cdot B + C.
Passo 4
Vou fazer uma verificação usando mapa de Karnaugh (K-map) para 3 variáveis, só para você ver graficamente que não deu nenhum truque:
Organizo o K-map com A,B nas linhas (00, 01, 11, 10) e C nas colunas (0,1).
A expressão original é 1 sempre que C=1 (porque \overline{A\cdot B}\cdot C ou mesmo o termo com C cobre esses casos) e, quando C=0, é 1 apenas se A\cdot B=1 (ou seja, A=1 e B=1).
No K-map isso aparece como: toda a coluna C=1 preenchida (um grupo grande que reduz para C), e um único 1 isolado na célula A=1,B=1,C=0 (que reduz para A\cdot B).
Os implicantes essenciais são C (cobre todas as células com C=1) e A\cdot B (cobre a célula A=1,B=1,C=0). Logo a soma mínima é
C + A\cdot B.
Isto confirma o resultado algébrico.
Passo 5
Comentário sobre minimalidade (para você saber quando parar): C + A\cdot B não pode ser reduzido apenas para C nem apenas para A\cdot B, porque quando C=0 a saída deve seguir A\cdot B, e quando C=1 a saída deve ser 1 independente de A,B. Portanto C + A\cdot B é uma forma mínima (ou uma forma canônica simplificada).