Simplifique as expressões lógicas abaixo utilizando as propriedades da álgebra booleana e mapa de Karnaugh (para expressões de até 4 variáveis): \bar{A} \cdot B+A \cdot B \cdot C \cdot(\overline{\bar{A}+\bar{B} \cdot C})
Passo 1
O que o enunciado nos dá e o que pede:
A expressão booleana a simplificar é \overline{A}\cdot B + A\cdot B\cdot C \cdot \big(\overline{\bar{A}+\bar{B}\cdot C}\big).
O objetivo é reduzir essa expressão ao menor número possível de termos/literais usando propriedades da álgebra booleana (De Morgan, distributiva, absorção, complemento, etc.) e, se desejar, confirmar com um mapa de Karnaugh (aqui são só 3 variáveis, então o K-map é simples).
Informações relevantes dadas: as variáveis são A, B, C; negações são indicadas por barra, produto por \cdot e soma por +.
Passo 2
Vamos simplificar primeiro a parte interna \overline{\bar{A}+\bar{B}\cdot C} usando a Lei de De Morgan. Lembre-se da Lei de De Morgan:
Substituímos esse resultado na expressão original:
\overline{A}\cdot B + A\cdot B\cdot C \cdot \big(\overline{\bar{A}+\bar{B}\cdot C}\big) = \overline{A}\cdot B + A\cdot B\cdot C \cdot \big(A\cdot (B + \bar{C})\big).
Agora simplificamos o produto do segundo termo. Primeiro, A\cdot A = A (idempotência do AND) e podemos rearranjar fatores:
A\cdot B\cdot C \cdot A\cdot (B + \bar{C}) = A\cdot B\cdot C \cdot (B + \bar{C}).
Distribuindo A B C sobre (B + \bar{C}):
A B C (B + \bar{C}) = A B C B + A B C \bar{C}.
Usamos B B = B e C\bar{C} = 0, então:
A B C B = A B C, \qquad A B C \bar{C} = 0.
Portanto o segundo termo simplifica para A B C. A expressão inteira fica:
\overline{A}B + A B C.
Passo 4
Colocamos B em evidência (distributiva):
\overline{A}B + A B C = B\cdot(\overline{A} + A C).
Aqui usei a propriedade distributiva XY + XZ = X(Y+Z) com X=B, Y=\overline{A}, Z=AC.
Passo 5
Agora simplificamos o parêntese \overline{A} + A C. Uma forma padrão é usar a propriedade da absorção e a distributiva:
\overline{A} + A C = (\overline{A} + A)\cdot(\overline{A} + C).
Como \overline{A}+A = 1, temos
\overline{A} + A C = 1\cdot(\overline{A} + C) = \overline{A} + C.
(Explicando a ideia: se \overline{A} já é 1, a soma é 1; se \overline{A}=0 então A=1 e a soma vale C.) Assim a expressão vira:
B\cdot(\overline{A} + C).
Passo 6
Podemos também escrever a forma soma-de-produtos (SOP) distribuída:
B\cdot(\overline{A} + C) = \overline{A}B + B C.
Ambas são formas equivalentes; B(\overline{A}+C) é a forma factorizada e \overline{A}B + BC é a SOP.
Passo 7
Rápida verificação com K-map de 3 variáveis A,B,C:
A expressão simplificada B(\overline{A}+C) é 1 exatamente quando B=1 e (A=0 ou C=1).
Os minterms com saída 1 são (A,B,C)=(0,1,0),(0,1,1),(1,1,1).
No mapa de Karnaugh 3-var (linhas por A, colunas por BC em código Gray) esses 1s formam dois agrupamentos: um agrupamento que gera o implicante \overline{A}B (cobre (0,1,0) e (0,1,1)) e outro que gera BC (cobre (0,1,1) e (1,1,1)). Isso confirma as duas implicantes \overline{A}B e BC, ou a forma factorizada B(\overline{A}+C).