Simplifique as expressões lógicas abaixo utilizando as propriedades da álgebra booleana e mapa de Karnaugh (para expressões de até 4 variáveis):
\bar{A} \cdot B+A \cdot B \cdot C \cdot(\overline{\bar{A}+\bar{B} \cdot C})

Passo 1

O que o enunciado nos dá e o que pede:
  • A expressão booleana a simplificar é \overline{A}\cdot B + A\cdot B\cdot C \cdot \big(\overline{\bar{A}+\bar{B}\cdot C}\big).
  • O objetivo é reduzir essa expressão ao menor número possível de termos/literais usando propriedades da álgebra booleana (De Morgan, distributiva, absorção, complemento, etc.) e, se desejar, confirmar com um mapa de Karnaugh (aqui são só 3 variáveis, então o K-map é simples).
  • Informações relevantes dadas: as variáveis são A, B, C; negações são indicadas por barra, produto por \cdot e soma por +.

Passo 2

Vamos simplificar primeiro a parte interna \overline{\bar{A}+\bar{B}\cdot C} usando a Lei de De Morgan. Lembre-se da Lei de De Morgan:
\overline{X+Y} = \bar{X}\cdot\bar{Y}, \qquad \overline{X\cdot Y} = \bar{X} + \bar{Y}.
Aqui tomamos X=\bar{A} e Y=\bar{B}\cdot C. Aplicando De Morgan:
\overline{\bar{A}+\bar{B}\cdot C} = \overline{\bar{A}}\cdot\overline{\bar{B}\cdot C}.
Agora aplicamos De Morgan ao segundo fator \overline{\bar{B}\cdot C}:
\overline{\bar{B}\cdot C} = \overline{\bar{B}} + \bar{C} = B + \bar{C}.
E \overline{\bar{A}} = A. Logo:
\overline{\bar{A}+\bar{B}\cdot C} = A\cdot (B + \bar{C}).

Passo 3

Substituímos esse resultado na expressão original:
\overline{A}\cdot B + A\cdot B\cdot C \cdot \big(\overline{\bar{A}+\bar{B}\cdot C}\big) = \overline{A}\cdot B + A\cdot B\cdot C \cdot \big(A\cdot (B + \bar{C})\big).
Agora simplificamos o produto do segundo termo. Primeiro, A\cdot A = A (idempotência do AND) e podemos rearranjar fatores:
A\cdot B\cdot C \cdot A\cdot (B + \bar{C}) = A\cdot B\cdot C \cdot (B + \bar{C}).
Distribuindo A B C sobre (B + \bar{C}):
A B C (B + \bar{C}) = A B C B + A B C \bar{C}.
Usamos B B = B e C\bar{C} = 0, então:
A B C B = A B C, \qquad A B C \bar{C} = 0.
Portanto o segundo termo simplifica para A B C. A expressão inteira fica:
\overline{A}B + A B C.

Passo 4

Colocamos B em evidência (distributiva):
\overline{A}B + A B C = B\cdot(\overline{A} + A C).
Aqui usei a propriedade distributiva XY + XZ = X(Y+Z) com X=B, Y=\overline{A}, Z=AC.

Passo 5

Agora simplificamos o parêntese \overline{A} + A C. Uma forma padrão é usar a propriedade da absorção e a distributiva:
\overline{A} + A C = (\overline{A} + A)\cdot(\overline{A} + C).
Como \overline{A}+A = 1, temos
\overline{A} + A C = 1\cdot(\overline{A} + C) = \overline{A} + C.
(Explicando a ideia: se \overline{A} já é 1, a soma é 1; se \overline{A}=0 então A=1 e a soma vale C.) Assim a expressão vira:
B\cdot(\overline{A} + C).

Passo 6

Podemos também escrever a forma soma-de-produtos (SOP) distribuída:
B\cdot(\overline{A} + C) = \overline{A}B + B C.
Ambas são formas equivalentes; B(\overline{A}+C) é a forma factorizada e \overline{A}B + BC é a SOP.

Passo 7

Rápida verificação com K-map de 3 variáveis A,B,C:
  • A expressão simplificada B(\overline{A}+C) é 1 exatamente quando B=1 e ( A=0 ou C=1).
  • Os minterms com saída 1 são (A,B,C)=(0,1,0),(0,1,1),(1,1,1).
    No mapa de Karnaugh 3-var (linhas por A, colunas por BC em código Gray) esses 1s formam dois agrupamentos: um agrupamento que gera o implicante \overline{A}B (cobre (0,1,0) e (0,1,1)) e outro que gera BC (cobre (0,1,1) e (1,1,1)). Isso confirma as duas implicantes \overline{A}B e BC, ou a forma factorizada B(\overline{A}+C).

Resposta

B(\overline{A}+C)
\overline{A}B + BC

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