Simplifique as expressões a seguir, eliminando expoentes negativos, caso existam. Sempre que necessário, suponha que o denominador é não nulo.
\left(x^{4} y^{7}\right)\left(y^{-3} x^{-2}\right)

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a expressão, eliminando expoentes negativos quando existirem. A expressão dada é:
\left(x^{4} y^{7}\right)\left(y^{-3} x^{-2}\right).
Informações relevantes fornecidas:
  • A expressão é um produto de potências com as bases x e y.
  • Há expoentes negativos ( y^{-3} e x^{-2}), portanto é necessário lembrar que isso pressupõe x\neq0 e y\neq0 caso se queira escrever frações equivalentes.

Passo 2

Relembrando regras de potências que vamos usar (explicadas de um jeito tranquilo):
  • Regra do produto para mesma base: \displaystyle a^{m}\cdot a^{n}=a^{m+n}. Ou seja, para multiplicar potências com a mesma base somamos os expoentes.
  • Expoente negativo: \displaystyle a^{-k}=\dfrac{1}{a^{k}} para a\neq0. Isso significa que um expoente negativo pode ser transformado em uma divisão por a potência positiva correspondente.
  • A multiplicação é comutativa, então podemos reordenar fatores: por exemplo x^{4}y^{7}\cdot y^{-3}x^{-2}=x^{4}x^{-2}y^{7}y^{-3}.
Vou aplicar a regra do produto (somar expoentes) agrupando bases iguais — é a forma mais direta aqui.

Passo 3

Primeiro, agrupar os fatores com a mesma base usando comutatividade:
\left(x^{4} y^{7}\right)\left(y^{-3} x^{-2}\right) = x^{4}x^{-2}\,y^{7}y^{-3}.

Passo 4

Agora aplico a regra do produto às potências de x:
x^{4}x^{-2}=x^{4+(-2)}=x^{2}.
Explicação: somamos os expoentes 4 e -2. Como 4+(-2)=2, o resultado é x^{2}. Note que o expoente negativo desapareceu porque o somatório deu um expoente positivo.

Passo 5

Faço o mesmo para as potências de y:
y^{7}y^{-3}=y^{7+(-3)}=y^{4}.
Explicação: somamos os expoentes 7 e -3. Como 7+(-3)=4, o resultado é y^{4}.

Passo 6

Multiplicando os resultados obtidos para x e para y, obtemos a forma simplificada (sem expoentes negativos):
x^{2}y^{4}.

Passo 7

Alternativa (para fixar a ideia): usar expoentes negativos como recíprocos.
\left(x^{4} y^{7}\right)\left(y^{-3} x^{-2}\right) = \frac{x^{4}y^{7}}{x^{2}y^{3}} = x^{4-2}y^{7-3}=x^{2}y^{4},
onde subtraiu-se expoentes na divisão, obtendo o mesmo resultado. Lembrete: essa passagem exige x\neq0 e y\neq0.

Resposta

x^{2}y^{4}

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