Simplifique as expressões a seguir, eliminando expoentes negativos, caso existam. Sempre que necessário, suponha que o denominador é não nulo.
\left(x^{6} y^{-2} z^{3}\right)\left(y^{4} z^{3} x^{-4}\right)

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a expressão, eliminando expoentes negativos se existirem. A expressão dada é
\left(x^{6} y^{-2} z^{3}\right)\left(y^{4} z^{3} x^{-4}\right).
Informações relevantes que foram fornecidas:
  • As variáveis são x, y e z.
  • Os expoentes aparecem positivos e negativos: 6, -2, 3, 4, 3 e -4.
  • Sempre que necessário, pode-se supor que o denominador é não nulo (ou seja, x, y, z não anulam denominadores se eles surgirem).

Passo 2

Relembrando as regras de potências que vamos usar (explicadas devagar, como num amigo ajudando na prova):
  • Regra do produto de potências com mesma base: para qualquer base a e expoentes m e n,
a^{m}\cdot a^{n}=a^{m+n}.
Isto significa que, ao multiplicar potências da mesma base, somamos os expoentes. Exemplo simples: a^{3}\cdot a^{2}=a^{3+2}=a^{5}.
  • Regra de expoente negativo: para qualquer base a não nula e inteiro n,
a^{-n}=\frac{1}{a^{n}}.
Ou seja, expoente negativo significa “passar para o denominador” com expoente positivo. Exemplo: a^{-2}=\dfrac{1}{a^{2}}.
Essas duas regras são tudo que precisamos aqui: vamos somar expoentes de cada variável porque estamos multiplicando produtos de potências.

Passo 3

Reorganizamos a multiplicação agrupando as potências de mesma base (usando comutatividade da multiplicação):
\left(x^{6} y^{-2} z^{3}\right)\left(y^{4} z^{3} x^{-4}\right) = x^{6}\cdot x^{-4}\cdot y^{-2}\cdot y^{4}\cdot z^{3}\cdot z^{3}.
Agora aplicamos a regra a^{m}a^{n}=a^{m+n} em cada variável:
  • Para x: os expoentes são 6 e -4. Somando,
6 + (-4) = 2,
logo x^{6}\cdot x^{-4}=x^{2}.
  • Para y: os expoentes são -2 e 4. Somando,
-2 + 4 = 2,
logo y^{-2}\cdot y^{4}=y^{2}.
  • Para z: os expoentes são 3 e 3. Somando,
3 + 3 = 6,
logo z^{3}\cdot z^{3}=z^{6}.

Passo 4

Multiplicando os resultados obtidos para cada variável temos
x^{2}\cdot y^{2}\cdot z^{6}.
Note que todos os expoentes ficaram positivos, então já eliminamos quaisquer expoentes negativos.

Passo 5

Verificação alternativa (opcional, mas útil para a prova): aplicar a ideia de passar fatores com expoente negativo para o denominador e simplificar fracionariamente.
A expressão original pode ser vista como
\frac{x^{6} z^{3}}{y^{2}}\cdot\frac{y^{4} z^{3}}{x^{4}} =\frac{x^{6-4}\,y^{4-2}\,z^{3+3}}{1} = x^{2}y^{2}z^{6},
o que confirma o resultado obtido somando expoentes diretamente.

Resposta

x^{2} y^{2} z^{6}

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