Simplifique as expressões a seguir, eliminando expoentes negativos, caso existam. Sempre que necessário, suponha que o denominador é não nulo.
\frac{3 u^{3} v^{3}}{v^{5} u^{2}}+\frac{u^{2}}{v^{2}}

Passo 1

O enunciado pede que se simplifique a expressão e que se eliminem expoentes negativos, se houver. A expressão dada é
\frac{3 u^{3} v^{3}}{v^{5} u^{2}}+\frac{u^{2}}{v^{2}}.
Informações relevantes fornecidas:
  • A expressão tem duas parcelas somadas: \dfrac{3 u^{3} v^{3}}{v^{5} u^{2}} e \dfrac{u^{2}}{v^{2}}.
  • Sempre que necessário, supõe-se que denominadores não são nulos; aqui isso significa que v\neq 0.

Passo 2

Relembrando regras de potências que vamos usar (explicação bem passo a passo):
  • Regra da divisão de potências com mesma base: para qualquer base a e inteiros m,n,
\frac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n}.
Isto significa que, ao dividir potências da mesma letra, subtrai-se os expoentes.
  • Regra do expoente negativo: para inteiro k,
a^{-k}=\frac{1}{a^{k}},
ou seja, um expoente negativo significa o inverso multiplicativo da potência positiva.
  • Soma de frações com mesmo denominador: se duas frações têm o mesmo denominador, soma-se apenas os numeradores e mantém-se o denominador:
\frac{A}{D}+\frac{B}{D}=\frac{A+B}{D}.
Vamos aplicar essas regras passo a passo à expressão.

Passo 3

Simplificar a primeira fração aplicando a regra da divisão de potências com mesma base:
\frac{3 u^{3} v^{3}}{v^{5} u^{2}} =3\cdot\frac{u^{3}}{u^{2}}\cdot\frac{v^{3}}{v^{5}}.
Usando \dfrac{u^{3}}{u^{2}}=u^{3-2}=u^{1}=u e \dfrac{v^{3}}{v^{5}}=v^{3-5}=v^{-2}, obtemos
\frac{3 u^{3} v^{3}}{v^{5} u^{2}}=3u\,v^{-2}.

Passo 4

Eliminar o expoente negativo usando v^{-2}=\dfrac{1}{v^{2}}. Assim,
3u\,v^{-2}=3u\cdot\frac{1}{v^{2}}=\frac{3u}{v^{2}}.
Portanto a primeira parcela simplificada é \dfrac{3u}{v^{2}}.

Passo 5

Agora escrevemos a soma com a segunda parcela, que já está em forma de fração:
\frac{3u}{v^{2}}+\frac{u^{2}}{v^{2}}.
Observação: ambas as frações têm o mesmo denominador v^{2} (e lembrando v\neq 0), então podemos somá-las juntando os numeradores.

Passo 6

Somar as frações com denominador comum:
\frac{3u}{v^{2}}+\frac{u^{2}}{v^{2}}=\frac{3u+u^{2}}{v^{2}}.
Fatorando u no numerador para ficar mais compacto:
\frac{3u+u^{2}}{v^{2}}=\frac{u(3+u)}{v^{2}}=\frac{u(u+3)}{v^{2}}.

Resposta

\dfrac{u(u+3)}{v^{2}}

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