Simplifique as expressões a seguir, eliminando expoentes negativos, caso existam. Sempre que necessário, suponha que o denominador é não nulo.
\left(\frac{2 x y z^{2}}{3 x^{2} y^{3} z}\right)^{4}

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a expressão, eliminando expoentes negativos se existirem. A expressão dada é
\left(\frac{2 x y z^{2}}{3 x^{2} y^{3} z}\right)^{4},
e devemos supor que os denominadores não são nulos (ou seja, x, y e z são tais que a fração faz sentido).

Passo 2

Relembrando as regras de potências que vamos usar (explicadas de forma simples):
  • Produto de potências com mesma base: \,a^{m}\cdot a^{n}=a^{m+n}\,. Aqui a é a base e m,n são expoentes.
  • Potência de potência: \,(a^{m})^{n}=a^{m n}\,.
  • Potência de um produto/quotiente: \,(ab)^{n}=a^{n}b^{n} e \left(\dfrac{a}{b}\right)^{n}=\dfrac{a^{n}}{b^{n}}.
  • Expoente negativo: \,a^{-m}=\dfrac{1}{a^{m}}\, para a\neq0.
Vamos aplicar essas regras passo a passo.

Passo 3

Primeiro simplificamos dentro da fração antes de aplicar a potência. Começamos cancelando potências com mesma base no numerador e denominador, subtraindo expoentes:
\frac{2 x y z^{2}}{3 x^{2} y^{3} z} = \frac{2}{3}\cdot \frac{x^{1}}{x^{2}}\cdot \frac{y^{1}}{y^{3}}\cdot \frac{z^{2}}{z^{1}}.
Subtraindo expoentes (regra a^{m}/a^{n}=a^{m-n}):
\frac{x^{1}}{x^{2}}=x^{1-2}=x^{-1},\qquad \frac{y^{1}}{y^{3}}=y^{1-3}=y^{-2},\qquad \frac{z^{2}}{z^{1}}=z^{2-1}=z^{1}=z.
Portanto a fração interna fica
\frac{2 x y z^{2}}{3 x^{2} y^{3} z}=\frac{2}{3}\,x^{-1}y^{-2}z.

Passo 4

Agora elevamos essa expressão à quarta potência. Usando \,(ab)^{n}=a^{n}b^{n} e (a^{m})^{n}=a^{mn}, temos
\left(\frac{2}{3}\,x^{-1}y^{-2}z\right)^{4} =\left(\frac{2}{3}\right)^{4}(x^{-1})^{4}(y^{-2})^{4}(z)^{4}.
Aplicando a regra da potência de potência:
(x^{-1})^{4}=x^{-4},\qquad (y^{-2})^{4}=y^{-8},\qquad z^{4}=z^{4}.
E o coeficiente:
\left(\frac{2}{3}\right)^{4}=\frac{2^{4}}{3^{4}}=\frac{16}{81}.
Portanto
\left(\frac{2 x y z^{2}}{3 x^{2} y^{3} z}\right)^{4}=\frac{16}{81}\,x^{-4}y^{-8}z^{4}.

Passo 5

Eliminar expoentes negativos significa escrever as potências de expoente negativo no denominador, usando a^{-m}=1/a^{m}. Assim
\frac{16}{81}\,x^{-4}y^{-8}z^{4} = \frac{16 z^{4}}{81 x^{4} y^{8}}.

Resposta

\displaystyle \frac{16 z^{4}}{81 x^{4} y^{8}}

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