Simplifique as expressões a seguir, eliminando expoentes negativos, caso existam. Sempre que necessário, suponha que o denominador é não nulo.
\left(\frac{y}{3 x^{-2}}\right)^{-3}

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a expressão, eliminando expoentes negativos. A expressão dada é \left(\frac{y}{3 x^{-2}}\right)^{-3}. Informações/hipóteses relevantes que vamos usar:
  • Suponha que os denominadores que surgirem não sejam nulos. Em particular, x \neq 0 (pois aparece x^{-2}) e também y \neq 0 (pois, ao elevar ao expoente -3, y=0 geraria divisão por zero).

Passo 2

Primeiro vamos simplificar a fração interna, eliminando o expoente negativo dentro dela. Lembre que, por definição,
x^{-2}=\frac{1}{x^{2}}.
Portanto
\frac{y}{3 x^{-2}} = \frac{y}{3\cdot\frac{1}{x^{2}}}.
Dividir por uma fração é multiplicar pelo inverso, logo
\frac{y}{3\cdot\frac{1}{x^{2}}} = y\cdot\frac{1}{3}\cdot x^{2} = \frac{y x^{2}}{3}.

Passo 3

Agora substituímos na expressão original:
\left(\frac{y}{3 x^{-2}}\right)^{-3} = \left(\frac{y x^{2}}{3}\right)^{-3}.
Explicar a regra de expoente negativo: para qualquer z não nulo e inteiro n,
z^{-n}=\frac{1}{z^{n}}.
Aplicando isso aqui,
\left(\frac{y x^{2}}{3}\right)^{-3} = \frac{1}{\left(\frac{y x^{2}}{3}\right)^{3}}.

Passo 4

Agora usamos as regras de potência sobre produto e quociente:
  • (ab)^{n}=a^{n}b^{n},
  • \left(\frac{a}{b}\right)^{n}=\frac{a^{n}}{b^{n}}.
Assim
\left(\frac{y x^{2}}{3}\right)^{3}=\frac{(y x^{2})^{3}}{3^{3}}=\frac{y^{3} x^{6}}{27},
porque (y)^{3}=y^{3}, (x^{2})^{3}=x^{6} (regra (x^{a})^{b}=x^{ab}) e 3^{3}=27.

Passo 5

Voltando à inversão do Passo 3:
\frac{1}{\left(\frac{y x^{2}}{3}\right)^{3}}=\frac{1}{\dfrac{y^{3} x^{6}}{27}}=\frac{27}{y^{3} x^{6}}.
Devemos lembrar a hipótese de domínio: a expressão final exige y\neq 0 e x\neq 0.

Resposta

\displaystyle \frac{27}{y^{3} x^{6}}

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