Simplifique as expressōes.
\sqrt{3^{4} 6^{-2}}

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a expressão
\sqrt{3^{4}\,6^{-2}}.
Informações dadas:
  • A expressão dentro da raiz é 3^{4} multiplicado por 6^{-2}.
  • Todos os números envolvidos ( 3, 6) são positivos, então podemos usar regras usuais de potências e raiz quadrada sem problemas de sinal.

Passo 2

Lembrando algumas regras úteis (explicadas de forma simples):
  • Para qualquer a\neq0 e expoentes m,n vale (ab)^{n}=a^{n}b^{n}.
  • Para qualquer a\neq0 e expoente n vale a^{-n}=\dfrac{1}{a^{n}}.
  • A raiz quadrada pode ser escrita como potência de expoente 1/2: \sqrt{x}=x^{1/2}.
  • Se \sqrt{(\,\cdot\,)^{2}} aparece, o resultado é o valor absoluto da base: \sqrt{t^{2}}=\lvert t\rvert. Se t>0, então \lvert t\rvert=t.
Vou usar essas regras para simplificar passo a passo.

Passo 3

Primeiro reescrevo 6^{-2} usando 6=2\cdot3 e a regra (ab)^{n}=a^{n}b^{n}:
6^{-2}=(2\cdot3)^{-2}=2^{-2}\,3^{-2}.
Substituindo na expressão:
3^{4}\,6^{-2}=3^{4}\cdot(2^{-2}\,3^{-2})=2^{-2}\,3^{4+(-2)}=2^{-2}\,3^{2}.
Aqui usei a regra a^{m}a^{n}=a^{m+n} para combinar as potências de 3 (isto é, 4+(-2)=2).

Passo 4

Agora temos
\sqrt{3^{4}\,6^{-2}}=\sqrt{2^{-2}\,3^{2}}.
Reescrevendo 2^{-2} como \dfrac{1}{2^{2}}:
\sqrt{2^{-2}\,3^{2}}=\sqrt{\dfrac{3^{2}}{2^{2}}}=\sqrt{\left(\dfrac{3}{2}\right)^{2}}.
Pelo fato de \dfrac{3}{2}>0, tem-se
\sqrt{\left(\dfrac{3}{2}\right)^{2}}=\left\lvert \dfrac{3}{2}\right\rvert=\dfrac{3}{2}.

Passo 5

(Solução alternativa, só para conferir numericamente)
3^{4}=81,\qquad 6^{-2}=\dfrac{1}{36},\qquad 81\cdot\dfrac{1}{36}=\dfrac{81}{36}=\dfrac{9}{4},
e \sqrt{\dfrac{9}{4}}=\dfrac{3}{2}, o mesmo resultado.

Resposta

\dfrac{3}{2}

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