Simplifique as expressōes.
\sqrt{15} \sqrt{5}

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a expressão \sqrt{15}\sqrt{5}.
Informações dadas:
  • As raízes são quadradas padrão (principal), ou seja, \sqrt{\cdot} representa o número não-negativo cuja quadrado é o argumento.
  • A operação é multiplicação entre \sqrt{15} e \sqrt{5}.
    A tarefa é escrever essa expressão na forma mais simples possível (forma radical simplificada).

Passo 2

Regra básica que vou usar: para quaisquer números reais não negativos x e y vale
\sqrt{x}\,\sqrt{y}=\sqrt{xy}.
Explicação curta dessa regra: se \sqrt{x}=a e \sqrt{y}=b com a,b\ge0, então a multiplicação dá ab e (ab)^2=a^2b^2=xy, logo ab é a raiz quadrada não-negativa de xy.

Passo 3

Aplicando a regra à nossa expressão:
\sqrt{15}\sqrt{5}=\sqrt{15\cdot 5}.
Calcular o produto dentro da raiz:
15\cdot 5=75,
portanto
\sqrt{15}\sqrt{5}=\sqrt{75}.

Passo 4

Agora simplificamos \sqrt{75} tirando fatores quadrados de dentro da raiz. Primeiro fatoramos 75:
75=3\cdot 25=3\cdot 5^{2}.
Aqui foi usada a fatoração: 75 dividido por 3 é 25, e 25 é 5^{2}.

Passo 5

Usamos a propriedade \sqrt{a b^{2}}=b\sqrt{a} quando b\ge0. Isso decorre de \sqrt{b^{2}}=b. Aplicando a \sqrt{75}=\sqrt{3\cdot 5^{2}} obtemos
\sqrt{75}=\sqrt{3\cdot 5^{2}}=5\sqrt{3}.

Passo 6

(Método alternativo curto, só para consolidar) Podemos também observar:
\sqrt{15}\sqrt{5}=\sqrt{3\cdot 5}\,\sqrt{5}=(\sqrt{3}\,\sqrt{5})\sqrt{5}=\sqrt{3}\,(\sqrt{5}\,\sqrt{5})=\sqrt{3}\cdot 5=5\sqrt{3},
o que dá o mesmo resultado.

Resposta

5\sqrt{3}

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