Simplifique as expressōes.
\sqrt[3]{9^{6}}

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a expressão
\sqrt[3]{9^{6}}.
Informações dadas:
  • A expressão é a raiz cúbica (índice 3) de 9^{6}.
  • Não há outras restrições (nenhuma raiz negativa, nem sinal de complexo).

Passo 2

Primeira ideia útil (fórmula): para qualquer número positivo a e inteiros m,n vale a relação entre potências e raízes
\sqrt[n]{a^{m}} = a^{m/n}.
Explicando devagar: a raiz de índice n equivale a elevar à potência 1/n; portanto tirar raiz e potência combina como dividir os expoentes. Aqui a é a base, m é o expoente e n é o índice da raiz.

Passo 3

Aplique essa fórmula à expressão. Tomando a=9, m=6 e n=3, obtemos
\sqrt[3]{9^{6}} = 9^{6/3}.
Calcule o quociente 6/3:
6/3 = 2,
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\sqrt[3]{9^{6}} = 9^{2}.

Passo 4

Podemos também decompor 9 em potências de 3, porque 9=3^{2}. Isso ajuda a ver a conta pelos expoentes:
9^{2} = (3^{2})^{2}.
Regra de potência de potência: (a^{r})^{s}=a^{r s}. Aplicando,
(3^{2})^{2} = 3^{2\cdot 2} = 3^{4}.

Passo 5

Calcule 3^{4}. Lembre-se: 3^{2}=9, 3^{3}=27, e
3^{4}=3\cdot 3^{3}=3\cdot 27 = 81.
Portanto a expressão simplificada é 81.

Resposta

81

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