Simplifique as expressōes.
\sqrt[5]{3^{5} 2^{10}}

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a expressão
\sqrt[5]{3^{5} 2^{10}}.
Informações dadas e o que se pede:
  • A expressão dentro da raiz é 3^{5}\cdot 2^{10}.
  • A raiz é de índice 5 (uma raiz quinta).
  • O objetivo é obter uma forma mais simples (um número ou produto de potências simplificadas).

Passo 2

Regra útil (explicada): para expoentes e raízes vale a relação de expoente fracionário
\sqrt[n]{a^{m}} = a^{m/n},
onde n é o índice da raiz, m é o expoente e a é a base. Esta fórmula é compatível com a definição porque, se definirmos b=a^{m/n}, então b^{n} = (a^{m/n})^{n} = a^{m}, que é exatamente o que a raiz n-ésima deve satisfazer. Aqui n=5.

Passo 3

Outra propriedade útil (quando fatores são não negativos) é que a raiz de um produto é o produto das raízes:
\sqrt[n]{xy} = \sqrt[n]{x}\cdot\sqrt[n]{y}.
No nosso caso 3^{5} e 2^{10} são positivos, então podemos separar:
\sqrt[5]{3^{5} 2^{10}} = \sqrt[5]{3^{5}}\cdot\sqrt[5]{2^{10}}.

Passo 4

Calcule \sqrt[5]{3^{5}}. Aplicando a regra de expoente fracionário:
\sqrt[5]{3^{5}} = 3^{5/5} = 3^{1} = 3.
Observação didática: para raízes de índice ímpar (como 5) não precisamos nos preocupar com valor absoluto — 3 é positivo de qualquer forma.

Passo 5

Calcule \sqrt[5]{2^{10}}. Use que 10=5\cdot 2 ou a regra de expoente fracionário:
\sqrt[5]{2^{10}} = 2^{10/5} = 2^{2} = 4.
Alternativamente, ver isso como \sqrt[5]{(2^{5})^{2}}=\bigl(2^{5}\bigr)^{2/5}=2^{2}.

Passo 6

Multiplique os resultados parciais (continuação do processo de simplificação):
\sqrt[5]{3^{5}2^{10}} = \sqrt[5]{3^{5}}\cdot\sqrt[5]{2^{10}} = 3\cdot 4 = 12.

Resposta

12

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