Simplifique as expressōes.
\sqrt[3]{5} \sqrt[3]{100}

Passo 1

O que o enunciado pede: simplificar a expressão \sqrt[3]{5}\sqrt[3]{100}.
Informações dadas:
  • As duas raízes são raízes cúbicas: \sqrt[3]{5} e \sqrt[3]{100}.
  • O objetivo é escrever o produto numa forma mais simples, extraindo fatores que sejam cubos perfeitos.

Passo 2

Lembra da propriedade que vamos usar: para quaisquer números não-negativos a e b,
\sqrt[3]{a}\,\sqrt[3]{b}=\sqrt[3]{ab}.
Explicação rápida e intuitiva: a raiz cúbica é a potência 1/3, isto é \sqrt[3]{x}=x^{1/3}. Logo
x^{1/3}y^{1/3}=(xy)^{1/3},
porque somam-se os expoentes iguais.

Passo 3

Aplicando essa propriedade ao nosso produto:
\sqrt[3]{5}\sqrt[3]{100}=\sqrt[3]{5\cdot100}=\sqrt[3]{500}.

Passo 4

Agora fatoramos 500 para identificar cubos perfeitos. Fazer fatoração passo a passo:
500=5\cdot100=5\cdot(25\cdot4)=5\cdot(5^2\cdot4)=5^3\cdot4.
Também podemos observar 4=2^2, então 500=5^3\cdot2^2.

Passo 5

Extraindo o cubo perfeito 5^3 de dentro da raiz cúbica:
\sqrt[3]{500}=\sqrt[3]{5^3\cdot4}= \sqrt[3]{5^3}\,\sqrt[3]{4}=5\sqrt[3]{4}.
Aqui usei que \sqrt[3]{5^3}=5 porque 5^3 é um cubo perfeito.

Resposta

5\sqrt[3]{4}

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