Simplifique as expressōes.
\sqrt[3]{15} \sqrt[3]{9}

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a expressão \sqrt[3]{15}\sqrt[3]{9}.
Dados fornecidos: duas raízes cúbicas, \sqrt[3]{15} e \sqrt[3]{9}. O objetivo é reduzir isso à forma mais simples possível, extraindo fatores que sejam cubes perfeitos.

Passo 2

Regra importante (mini-aula curta): quando as raízes têm o mesmo índice n, vale a propriedade
\sqrt[n]{a}\,\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{ab}.
Explicação por que isso é verdade: escrevendo raízes como potências, \sqrt[n]{a}=a^{1/n} e \sqrt[n]{b}=b^{1/n}. O produto é (a^{1/n})(b^{1/n})=(ab)^{1/n}=\sqrt[n]{ab}. Essa é a ferramenta que vamos usar aqui.

Passo 3

Aplicando a propriedade ao nosso caso (índice n=3):
\sqrt[3]{15}\sqrt[3]{9}=\sqrt[3]{15\cdot 9}.
Calcule 15\cdot 9:
15\cdot 9=135,
logo temos
\sqrt[3]{15}\sqrt[3]{9}=\sqrt[3]{135}.

Passo 4

Agora, fatorar 135 para identificar se há um cubo perfeito dentro. Fazer fatoração em primos ou reconhecer potências:
135=27\cdot 5,
e 27=3^3. Portanto
135=3^3\cdot 5.

Passo 5

Outra regra útil (mini-aula): se dentro da raiz existe um fator que é uma potência exata do índice, ele pode ser extraído. Em geral,
\sqrt[n]{a^n b}=a\sqrt[n]{b}.
Aplicando isso ao caso com n=3 e a=3, b=5:
\sqrt[3]{135}=\sqrt[3]{3^3\cdot 5}=\sqrt[3]{3^3}\,\sqrt[3]{5}=3\sqrt[3]{5}.

Passo 6

Resumo didático final do procedimento que deve lembrar na prova: (1) combinar raízes de mesmo índice multiplicando sob uma raiz só; (2) fatorar o radicando procurando potências iguais ao índice; (3) extrair essas potências como fator fora da raiz. Aqui isso levou diretamente a simplificação.

Resposta

3\sqrt[3]{5}

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