Simplifique as expressōes.
\sqrt[3]{8 / 27}

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a expressão \sqrt[3]{\dfrac{8}{27}}. Ou seja, encontrar um número mais simples (um racional, se possível) que seja igual a essa raiz cúbica.

Passo 2

Propriedade útil: a raiz cúbica de uma fração pode ser escrita como a fração das raízes cúbicas:
\sqrt[3]{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt[3]{a}}{\sqrt[3]{b}},
desde que b\neq0. Isso vem do fato de que a função x\mapsto x^3 é bijetora nos reais, então a operação inversa (a raiz cúbica) respeita multiplicação e divisão de potências correspondentes.

Passo 3

Reconhecer potências perfeitas: 8 e 27 são cubos perfeitos porque
8=2^3\quad\text{e}\quad27=3^3.
Para qualquer inteiro n vale \sqrt[3]{n^3}=n. Logo,
\sqrt[3]{8}=\sqrt[3]{2^3}=2, \qquad \sqrt[3]{27}=\sqrt[3]{3^3}=3.

Passo 4

Aplicando a propriedade do Passo 2 e os resultados do Passo 3:
\sqrt[3]{\dfrac{8}{27}}=\dfrac{\sqrt[3]{8}}{\sqrt[3]{27}}=\dfrac{2}{3}.
Comentário rápido e motivador: sempre que vir \sqrt[3]{\dfrac{a}{b}} tente verificar se a e b são cubos perfeitos; isso simplifica muito. Exemplo extra: \sqrt[3]{\dfrac{64}{125}}=\dfrac{4}{5}. Vai dar certo na prova — respira, você consegue!

Resposta

\dfrac{2}{3}

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