Simplifique as expressões, supondo \mathrm{a} \cdot \mathrm{b} \neq 0.
\left[\left(a^{2} \cdot b^{-3}\right)^{2}\right]^{-3}

Passo 1

O enunciado dá a expressão a ser simplificada e uma condição sobre as variáveis. Itens dados:
  • Expressão a simplificar: \left[\left(a^{2} \cdot b^{-3}\right)^{2}\right]^{-3}.
  • Condição: a\cdot b \neq 0 (ou seja, a e b são diferentes de zero).
O que o problema pede:
  • Simplificar a expressão acima, escrevendo-a numa forma mais simples (preferivelmente com expoentes positivos).

Passo 2

Relembrando as regras de potência que vou usar (explicadas de forma simples):
  • Regra 1 (potência do produto): \left(xy\right)^m = x^m y^m. Significa que um expoente aplicado a um produto distribui-se para cada fator.
  • Regra 2 (potência de potência): \left(x^m\right)^n = x^{m\cdot n}. Ou seja, ao elevar uma potência a outra potência, multiplica-se os expoentes.
  • Regra 3 (expoente negativo): x^{-m} = \dfrac{1}{x^{m}} para x\neq 0. Expoentes negativos indicam recíproco.
    Cada símbolo nessas regras: x,y são quaisquer expressões (aqui serão a e b), e m,n são expoentes (inteiros no nosso caso).

Passo 3

Aplicar a Regra 1 ao que está dentro do colchete: primeiro calculamos \left(a^{2}\cdot b^{-3}\right)^{2}.
Usando \left(xy\right)^m = x^m y^m temos:
\left(a^{2}\cdot b^{-3}\right)^{2} = \left(a^{2}\right)^{2}\cdot\left(b^{-3}\right)^{2}.
Agora aplicando a Regra 2 ( \left(x^m\right)^n = x^{m n}) a cada fator:
\left(a^{2}\right)^{2} = a^{2\cdot 2} = a^{4}, \qquad \left(b^{-3}\right)^{2} = b^{-3\cdot 2} = b^{-6}.
Portanto
\left(a^{2}\cdot b^{-3}\right)^{2} = a^{4} b^{-6}.

Passo 4

Agora elevamos o resultado ao expoente -3:
\left[a^{4} b^{-6}\right]^{-3}.
De novo usando a Regra 1 seguida da Regra 2 (distribuir o expoente e multiplicar os expoentes):
\left[a^{4} b^{-6}\right]^{-3} = \left(a^{4}\right)^{-3}\cdot\left(b^{-6}\right)^{-3} = a^{4\cdot(-3)}\cdot b^{-6\cdot(-3)}.
Calculando os produtos dos expoentes:
a^{4\cdot(-3)} = a^{-12}, \qquad b^{-6\cdot(-3)} = b^{18}.
Portanto
\left[\left(a^{2}\cdot b^{-3}\right)^{2}\right]^{-3} = a^{-12} b^{18}.

Passo 5

Escrever com expoentes positivos (usando a Regra 3, a^{-12} = \dfrac{1}{a^{12}}):
a^{-12} b^{18} = \dfrac{b^{18}}{a^{12}}, \qquad\text{(válido porque }a\neq 0\text{)}.á
Podemos fazer uma checagem numérica rápida para ganhar confiança: escolhendo a=2 e b=3,
\text{o lado simplificado} = \dfrac{3^{18}}{2^{12}} = \dfrac{729^{3}}{16^{3}} = \left(\dfrac{729}{16}\right)^{3},
que coincide com o cálculo direto da expressão original; logo a simplificação está correta.

Resposta

\dfrac{b^{18}}{a^{12}}

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