Simplifique as expressões trigonométricas:
\operatorname{sen} x \cdot \cos x \cdot \tan x

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a expressão dada. Informação fornecida:
  • Expressão inicial: \operatorname{sen} x \cdot \cos x \cdot \tan x.
Observação rápida: aqui \operatorname{sen}x é a notação em português para o seno; vou escrever também como \sin x (mesma função).

Passo 2

Relembrando DEFINIÇÕES essenciais (explicando cada símbolo):
  • \sin x é o seno de x. É uma função que depende do ângulo x.
  • \cos x é o cosseno de x.
  • \tan x é a tangente de x. A definição algébrica básica que vamos usar é
\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}.
Aqui x representa um ângulo (pode ser em radianos ou graus), e essa identidade vale sempre que \cos x \neq 0 (pois não podemos dividir por zero).

Passo 3

Substituir a definição de \tan x na expressão original. Começando de
\sin x \cdot \cos x \cdot \tan x,
substitui-se \tan x por \dfrac{\sin x}{\cos x}:
\sin x \cdot \cos x \cdot \frac{\sin x}{\cos x}.

Passo 4

Agrupar fatores e simplificar por cancelamento. A expressão é um produto de fatores; podemos reordenar (propriedade comutativa do produto) e ver o cancelamento:
\sin x \cdot \cos x \cdot \frac{\sin x}{\cos x} = \sin x \cdot \frac{\sin x \cdot \cos x}{\cos x}.
Como \cos x aparece no numerador e no denominador, e desde que \cos x \neq 0, podemos cancelar:
\frac{\sin x \cdot \cos x}{\cos x} = \sin x.
Logo a expressão fica
\sin x \cdot \sin x = \sin^2 x.
Explanação do cancelamento: cancelar \cos x significa usar a lei \dfrac{a\cdot b}{b}=a para b\neq0. Aqui a=\sin x e b=\cos x.

Passo 5

Observação sobre domínio (muito importante na prova): a igualdade
\sin x \cdot \cos x \cdot \tan x = \sin^2 x
vale para todos os x tais que a expressão original está definida, ou seja, para todos os x com \cos x \neq 0 (pois \tan x não está definida quando \cos x=0). A função \sin^2 x está definida também nesses pontos, mas não se deve afirmar que as duas expressões são iguais como funções em todo \mathbb{R} sem notar essa restrição; elas são algébrica e numericamente iguais sempre que \cos x\neq0.

Passo 6

Verificação numérica rápida (exemplo concreto para ganhar confiança): tome x=\dfrac{\pi}{6}.
\sin\!\left(\frac{\pi}{6}\right)=\frac{1}{2},\quad \cos\!\left(\frac{\pi}{6}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2},\quad \tan\!\left(\frac{\pi}{6}\right)=\frac{1}{\sqrt{3}}.
Produto inicial:
\frac{1}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{1}{4}.
E \sin^2\!\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=\left(\dfrac{1}{2}\right)^2=\dfrac{1}{4}. Confere.

Resposta

\sin^2 x

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