Simplifique as expressões trigonométricas:
Passo 1
O enunciado pede para simplificar a expressão dada. Informação fornecida:
- Expressão inicial:
.
Observação rápida: aqui
é a notação em português para o seno; vou escrever também como
(mesma função).
Passo 2
Relembrando DEFINIÇÕES essenciais (explicando cada símbolo):
-
é o seno de . É uma função que depende do ângulo . -
é o cosseno de . -
é a tangente de . A definição algébrica básica que vamos usar é
Aqui
representa um ângulo (pode ser em radianos ou graus), e essa identidade vale sempre que
(pois não podemos dividir por zero).
Passo 3
Substituir a definição de
na expressão original. Começando de
substitui-se
por
:
Passo 4
Agrupar fatores e simplificar por cancelamento. A expressão é um produto de fatores; podemos reordenar (propriedade comutativa do produto) e ver o cancelamento:
Como
aparece no numerador e no denominador, e desde que
, podemos cancelar:
Logo a expressão fica
Explanação do cancelamento: cancelar
significa usar a lei
para
. Aqui
e
.
Passo 5
Observação sobre domínio (muito importante na prova): a igualdade
vale para todos os
tais que a expressão original está definida, ou seja, para todos os
com
(pois
não está definida quando
). A função
está definida também nesses pontos, mas não se deve afirmar que as duas expressões são iguais como funções em todo
sem notar essa restrição; elas são algébrica e numericamente iguais sempre que
.
Passo 6
Verificação numérica rápida (exemplo concreto para ganhar confiança): tome
.
Produto inicial:
E
. Confere.