Simplifique as frações algébricas:
.
Passo 1
O enunciado pede para simplificar a fração algébrica
.
Informações dadas:
- Numerador:
. - Denominador:
. - Atenção: a fração original não está definida quando o denominador é zero, ou seja, quando
. Resolver dá . Portanto e .
Objetivo: fatorar numerador e denominador, cancelar fatores comuns (quando for válido) e escrever a forma simplificada, sempre lembrando das restrições de domínio.
Passo 2
Vamos fatorar o denominador
. Use a identidade conhecida (diferença de quadrados):
Tomando
e
, obtemos
Para checar rapidamente, multiplicar
dá
, ok.
Passo 3
Agora fatorar o numerador
. Use a identidade (soma de cubos):
Tomando
e
, fica
Também é bom confirmar multiplicando:
, confirma.
Passo 4
Substituindo as fatorações na fração:
Há um fator comum
no numerador e no denominador, que pode ser cancelado algebraicamente, desde que lembremos que originalmente
. Após o cancelamento obtemos
com a restrição de que
e
(essas duas vêm do domínio da fração original).
Passo 5
Verificação rápida de que não há mais cancelamento possível: avaliar
em
dá
, logo
não é fator do numerador e não há mais simplificação.