Simplifique as frações algébricas:
\frac{x^{3}+1}{x^{2}-1}.

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a fração algébrica \dfrac{x^{3}+1}{x^{2}-1}.
Informações dadas:
  • Numerador: \;x^{3}+1.
  • Denominador: \;x^{2}-1.
  • Atenção: a fração original não está definida quando o denominador é zero, ou seja, quando \;x^{2}-1=0. Resolver \;x^{2}-1=0 \;x=\pm 1. Portanto \;x\neq 1 e \;x\neq -1.
Objetivo: fatorar numerador e denominador, cancelar fatores comuns (quando for válido) e escrever a forma simplificada, sempre lembrando das restrições de domínio.

Passo 2

Vamos fatorar o denominador \;x^{2}-1. Use a identidade conhecida (diferença de quadrados):
a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b).
Tomando a=x e b=1, obtemos
x^{2}-1=(x-1)(x+1).
Para checar rapidamente, multiplicar (x-1)(x+1) x^{2}+x-x-1=x^{2}-1, ok.

Passo 3

Agora fatorar o numerador \;x^{3}+1. Use a identidade (soma de cubos):
a^{3}+b^{3}=(a+b)\bigl(a^{2}-ab+b^{2}\bigr).
Tomando a=x e b=1, fica
x^{3}+1=(x+1)\bigl(x^{2}-x+1\bigr).
Também é bom confirmar multiplicando: (x+1)(x^{2}-x+1)=x^{3}-x^{2}+x + x^{2}-x+1 = x^{3}+1, confirma.

Passo 4

Substituindo as fatorações na fração:
\frac{x^{3}+1}{x^{2}-1}=\frac{(x+1)\bigl(x^{2}-x+1\bigr)}{(x-1)(x+1)}.
Há um fator comum (x+1) no numerador e no denominador, que pode ser cancelado algebraicamente, desde que lembremos que originalmente \;x\neq -1. Após o cancelamento obtemos
\frac{x^{2}-x+1}{x-1},
com a restrição de que \;x\neq 1 e \;x\neq -1 (essas duas vêm do domínio da fração original).

Passo 5

Verificação rápida de que não há mais cancelamento possível: avaliar \;x^{2}-x+1 em x=1 1-1+1=1\neq 0, logo (x-1) não é fator do numerador e não há mais simplificação.

Resposta

\dfrac{x^{2}-x+1}{x-1},\; x\neq \pm 1

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