Simplifique as frações algébricas:
Passo 1
O que o problema pede: simplificar a fração algébrica
Informações dadas: o numerador é o polinômio
e o denominador é
. A ideia é fatorar numerador e denominador, cancelar fatores comuns (quando for permitido) e indicar as restrições ao domínio que surgem da divisão por zero.
Passo 2
Fatorar o denominador. Reconhecemos uma diferença de quadrados:
Explicação curta:
. Aqui
e
.
Passo 3
Procurar raízes racionais do numerador para fatorá-lo. Pelo Teorema das Raízes Racionais, candidatos são divisores de
:
. Testar
:
logo
é raiz e
é um fator do numerador.
Passo 4
Dividir o polinômio
por
para obter o quociente. Usando divisão sintética com os coeficientes
e a raiz
:
Trazer o
(coeficiente líder):
.
Multiplicar por :
. Somar ao próximo coeficiente
:
.
Multiplicar por :
. Somar ao próximo coeficiente
:
.
Multiplicar por :
. Somar ao último coeficiente
:
(resto zero).
Multiplicar por
Multiplicar por
Multiplicar por
O quociente é o polinômio de grau 2 com coeficientes
, ou seja
Portanto
Passo 5
Fatorar a quadrática
. Procuramos dois números cuja soma seja
e produto
: são
e
. Assim
Logo o numerador fica
Passo 6
Colocar tudo na fração e cancelar fator comum:
Podemos cancelar
, desde que
(porque se
a expressão original tem denominador zero). Após o cancelamento obtemos a forma simplificada
com as restrições de domínio vindas do denominador original:
e
. Observação final: em
havia um fator comum que se cancelou (isso cria um ponto removível — “buraco” — na função original); em
permanece divisão por zero (vertical assíntota).
Passo 7
Verificação rápida com um valor numérico (opcional, para checar): tomar
.
Original: .
Simplificada: . Confere (para
que não sejam
).
Original:
Simplificada: