Simplifique as frações algébricas:
\frac{x^{3}-3 x+2}{x^{2}-4}

Passo 1

O que o problema pede: simplificar a fração algébrica
\frac{x^{3}-3x+2}{x^{2}-4}.
Informações dadas: o numerador é o polinômio x^{3}-3x+2 e o denominador é x^{2}-4. A ideia é fatorar numerador e denominador, cancelar fatores comuns (quando for permitido) e indicar as restrições ao domínio que surgem da divisão por zero.

Passo 2

Fatorar o denominador. Reconhecemos uma diferença de quadrados:
x^{2}-4=(x-2)(x+2).
Explicação curta: (a-b)(a+b)=a^{2}-b^{2}. Aqui a=x e b=2.

Passo 3

Procurar raízes racionais do numerador para fatorá-lo. Pelo Teorema das Raízes Racionais, candidatos são divisores de 2: \pm1,\pm2. Testar x=1:
1^{3}-3\cdot1+2=1-3+2=0,
logo x=1 é raiz e (x-1) é um fator do numerador.

Passo 4

Dividir o polinômio x^{3}-3x+2 por (x-1) para obter o quociente. Usando divisão sintética com os coeficientes 1,0,-3,2 e a raiz 1:
Trazer o 1 (coeficiente líder): 1.
Multiplicar por 1: 1. Somar ao próximo coeficiente 0: 1.
Multiplicar por 1: 1. Somar ao próximo coeficiente -3: -2.
Multiplicar por 1: -2. Somar ao último coeficiente 2: 0 (resto zero).
O quociente é o polinômio de grau 2 com coeficientes 1,1,-2, ou seja
x^{2}+x-2.
Portanto
x^{3}-3x+2=(x-1)(x^{2}+x-2).

Passo 5

Fatorar a quadrática x^{2}+x-2. Procuramos dois números cuja soma seja 1 e produto -2: são 2 e -1. Assim
x^{2}+x-2=(x+2)(x-1).
Logo o numerador fica
x^{3}-3x+2=(x-1)(x+2)(x-1)=(x-1)^{2}(x+2).

Passo 6

Colocar tudo na fração e cancelar fator comum:
\frac{x^{3}-3x+2}{x^{2}-4}=\frac{(x-1)^{2}(x+2)}{(x-2)(x+2)}.
Podemos cancelar (x+2), desde que x\neq -2 (porque se x=-2 a expressão original tem denominador zero). Após o cancelamento obtemos a forma simplificada
\frac{(x-1)^{2}}{x-2},
com as restrições de domínio vindas do denominador original: x\neq 2 e x\neq -2. Observação final: em x=-2 havia um fator comum que se cancelou (isso cria um ponto removível — “buraco” — na função original); em x=2 permanece divisão por zero (vertical assíntota).

Passo 7

Verificação rápida com um valor numérico (opcional, para checar): tomar x=0.
Original: \dfrac{0^{3}-3\cdot0+2}{0^{2}-4}=\dfrac{2}{-4}=-\tfrac{1}{2}.
Simplificada: \dfrac{(0-1)^{2}}{0-2}=\dfrac{1}{-2}=-\tfrac{1}{2}. Confere (para x que não sejam \pm2).

Resposta

\dfrac{(x-1)^{2}}{x-2}, com x\neq 2,\\ x\neq -2

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