Simplifique as frações algébricas:
\frac{x^{2}+3 x-10}{3 x^{2}-5 x-2}.

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a fração algébrica
\frac{x^{2}+3x-10}{3x^{2}-5x-2}.
Informações dadas:
  • Numerador: \,x^{2}+3x-10.
  • Denominador: \,3x^{2}-5x-2.
    O objetivo é fatorar numerador e denominador, cancelar fatores comuns (quando possível) e indicar as restrições de domínio decorrentes de zeros do denominador.

Passo 2

Breve aula prática sobre fatoração de quadráticos (passo a passo, sem jargões):
  • Para fatorar um trinômio do tipo \,ax^{2}+bx+c, uma técnica é procurar dois números que multiplicados dão a\cdot c e somados dão b. Depois reescreve-se o termo do meio usando esses dois números e faz-se fatoração por agrupamento.
  • No caso de a=1 (trinômio monico, \,x^{2}+bx+c), procura-se dois números que multiplicam para c e somam para b; então o trinômio pode ser escrito como (x+p)(x+q) com p+q=b e pq=c.
  • Sempre conferir multiplicando os fatores obtidos (método FOIL) para garantir que realmente retornam ao trinômio original.
  • Ao cancelar fatores, é preciso lembrar que não se pode admitir valores que zerem o denominador original. Esses valores permanecem excluídos mesmo que o fator seja cancelável (são pontos onde a expressão original é indefinida).

Passo 3

Fatorar o numerador \,x^{2}+3x-10.
Procuramos dois números p e q tais que
p\cdot q = -10,\qquad p+q = 3.
Os candidatos: (5,-2) funcionam porque 5\cdot(-2)=-10 e 5+(-2)=3. Assim
x^{2}+3x-10 = (x+5)(x-2).
Verificação rápida (FOIL): (x+5)(x-2)=x^{2}-2x+5x-10=x^{2}+3x-10. Certo.

Passo 4

Fatorar o denominador \,3x^{2}-5x-2 usando o método a\cdot c e agrupamento.
Aqui a=3, b=-5, c=-2. Calcula-se a\cdot c = 3\cdot(-2) = -6. Procuramos dois números que multiplicam para -6 e somam para b=-5. Esses números são -6 e 1 porque (-6)\cdot 1=-6 e (-6)+1=-5.
Reescreve-se o termo do meio -5x como -6x + 1x:
3x^{2}-5x-2 = 3x^{2}-6x + x -2.
Agora faz-se fatoração por agrupamento:
3x^{2}-6x + x -2 = 3x(x-2) + 1(x-2) = (3x+1)(x-2).
Verificação (FOIL): (3x+1)(x-2)=3x^{2}-6x + x -2 = 3x^{2}-5x-2. Certo.

Passo 5

Substituindo as fatorações na fração original:
\frac{x^{2}+3x-10}{3x^{2}-5x-2} = \frac{(x+5)(x-2)}{(3x+1)(x-2)}.
Há um fator comum (x-2) no numerador e no denominador, que pode ser cancelado desde que não consideremos valores que anulam o denominador original. Os zeros do denominador original são as soluções de
(3x+1)(x-2)=0,
ou seja \,x=-\tfrac{1}{3} e \,x=2. Esses valores tornam a expressão original indefinida e, portanto, devem ser excluídos do domínio.
Cancelando (x-2) (para x\neq 2) obtemos a forma simplificada:
\frac{x+5}{3x+1}.

Passo 6

Resumo final e observação sobre domínio: a fração simplifica para \dfrac{x+5}{3x+1}, mas a expressão original não está definida em \,x=2 nem em \,x=-\tfrac{1}{3}, portanto essas valores devem ser excluídos.

Resposta

\dfrac{x+5}{3x+1}, com \,x\neq 2 e \,x\neq -\tfrac{1}{3}.

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