Simplifique as frações algébricas:
.
Passo 1
O enunciado pede para simplificar a fração algébrica
Informações dadas:
- Numerador:
. - Denominador:
.
O objetivo é fatorar numerador e denominador, cancelar fatores comuns (quando possível) e indicar as restrições de domínio decorrentes de zeros do denominador.
Passo 2
Breve aula prática sobre fatoração de quadráticos (passo a passo, sem jargões):
- Para fatorar um trinômio do tipo
, uma técnica é procurar dois números que multiplicados dão e somados dão . Depois reescreve-se o termo do meio usando esses dois números e faz-se fatoração por agrupamento. - No caso de
(trinômio monico, ), procura-se dois números que multiplicam para e somam para ; então o trinômio pode ser escrito como com e . - Sempre conferir multiplicando os fatores obtidos (método FOIL) para garantir que realmente retornam ao trinômio original.
- Ao cancelar fatores, é preciso lembrar que não se pode admitir valores que zerem o denominador original. Esses valores permanecem excluídos mesmo que o fator seja cancelável (são pontos onde a expressão original é indefinida).
Passo 3
Fatorar o numerador
.
Procuramos dois números
e
tais que
Os candidatos:
funcionam porque
e
. Assim
Verificação rápida (FOIL):
. Certo.
Passo 4
Fatorar o denominador
usando o método
e agrupamento.
Aqui
,
,
. Calcula-se
. Procuramos dois números que multiplicam para
e somam para
. Esses números são
e
porque
e
.
Reescreve-se o termo do meio
como
:
Agora faz-se fatoração por agrupamento:
Verificação (FOIL):
. Certo.
Passo 5
Substituindo as fatorações na fração original:
Há um fator comum
no numerador e no denominador, que pode ser cancelado desde que não consideremos valores que anulam o denominador original. Os zeros do denominador original são as soluções de
ou seja
e
. Esses valores tornam a expressão original indefinida e, portanto, devem ser excluídos do domínio.
Cancelando
(para
) obtemos a forma simplificada:
Passo 6
Resumo final e observação sobre domínio: a fração simplifica para
, mas a expressão original não está definida em
nem em
, portanto essas valores devem ser excluídos.