Simplifique as frações algébricas a seguir:
\frac{2\left(x^{2}-3\right)\left(x^{2}-x+5\right)}{-4 x^{2}+4 x-20}

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a expressão algébrica
\frac{2\left(x^{2}-3\right)\left(x^{2}-x+5\right)}{-4 x^{2}+4 x-20}.
Informações dadas:
\text{Numerador: }2\left(x^{2}-3\right)\left(x^{2}-x+5\right).
\text{Denominador: }-4 x^{2}+4 x-20.
A tarefa é reduzir fatores comuns e escrever a fração na forma mais simples possível (mantendo em mente que não se pode dividir por zero).

Passo 2

Primeiro passo prático: fatorar o denominador por um fator comum. Observamos que todos os termos do denominador têm fator comum -4. Fatorando -4 obtemos
-4 x^{2}+4 x-20 = -4\left(x^{2}-x+5\right).
Isto é simplesmente usar que -4\cdot x^{2}=-4x^{2}, -4\cdot(-x)=+4x e -4\cdot5=-20.

Passo 3

Agora reescrevemos a fração usando essa fatoração:
\frac{2\left(x^{2}-3\right)\left(x^{2}-x+5\right)}{-4\left(x^{2}-x+5\right)}.
Vê-se um fator \left(x^{2}-x+5\right) no numerador e no denominador; podemos cancelá-lo desde que não seja zero.

Passo 4

Verificação da possibilidade de cancelamento: precisamos garantir que \left(x^{2}-x+5\right)\neq0. Calculamos o discriminante da quadrática \,x^{2}-x+5\,:
\Delta = (-1)^{2}-4\cdot1\cdot5 = 1-20 = -19.
Como \Delta<0, a equação x^{2}-x+5=0 não tem raízes reais, ou seja, para todo x\in\mathbb{R} temos x^{2}-x+5\neq0. Portanto, se estamos simplificando sobre os números reais, o cancelamento é permitido.

Passo 5

Cancelando \left(x^{2}-x+5\right) e simplificando os coeficientes numéricos, obtemos
\frac{2\left(x^{2}-3\right)}{-4} = \left(\frac{2}{-4}\right)\left(x^{2}-3\right).
Calculando \frac{2}{-4}=-\tfrac{1}{2}, então a expressão fica
-\tfrac{1}{2}\left(x^{2}-3\right).
Podemos também reescrever de forma equivalente como
\frac{3-x^{2}}{2}.

Passo 6

Resumo e interpretação: a fração foi simplificada cancelando o fator comum \left(x^{2}-x+5\right). Como essa quadrática não anula para x\in\mathbb{R}, a simplificação é válida para todos os x reais. As formas finais equivalentes são -\tfrac{1}{2}\left(x^{2}-3\right) e \tfrac{3-x^{2}}{2}.

Resposta

\displaystyle \frac{3-x^{2}}{2}

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