Simplifique as frações algébricas a seguir:
Passo 1
O enunciado pede: simplificar a fração algébrica
Informações dadas: o numerador é
e o denominador é
. O objetivo é reduzir a fração ao menor quociente possível, cancelando fatores comuns quando permitido.
Passo 2
Vamos começar a fatorar o numerador. Uma técnica básica é sempre verificar se há fator comum em todos os termos. No numerador temos
. Posso retirar
em evidência porque ambos os termos são múltiplos de
. Assim:
Explicação didática: “fator em evidência” significa escrever
. Aqui
e
, então fatorando
sobra
. Exemplo rápido:
.
Passo 3
O termo que ficou,
, é uma diferença de quadrados. Há uma fórmula muito útil:
Aplicando com
e
, obtemos
Explicação didática: diferença de quadrados sempre pode ser fatorada dessa forma. Exemplo:
e
.
Passo 4
Agora substituímos as fatorações no numerador e escrevemos a fração inteira com fatores explícitos:
Observamos fatores idênticos no numerador e no denominador:
aparece em ambos;
aparece uma vez no numerador e com potência
no denominador. Podemos cancelar
completamente e cancelar um fator
do numerador com um dos três no denominador. Após cancelar, resta:
Regra importante (didática): só podemos cancelar fatores quando eles são diferentes de zero; isto é, precisamos exigir que os fatores cancelados não sejam zero, ou seja, as operações são válidas apenas para
tais que os fatores do denominador original não sejam zero.
Passo 5
Anotando as condições que surgem do denominador original:
implica que
e
, porque esses valores anulariam o denominador. Portanto a simplificação é válida para todos os
exceto
e
.
Verificação numérica rápida (confirmação): escolha
. No original:
Na forma simplificada:
Confere.