Simplifique as frações algébricas a seguir:
\frac{\left(x^{3}-x\right)}{(x+1)(x-1)^{3}}

Passo 1

O enunciado pede: simplificar a fração algébrica
\frac{\left(x^{3}-x\right)}{(x+1)(x-1)^{3}}.
Informações dadas: o numerador é \left(x^{3}-x\right) e o denominador é (x+1)(x-1)^{3}. O objetivo é reduzir a fração ao menor quociente possível, cancelando fatores comuns quando permitido.

Passo 2

Vamos começar a fatorar o numerador. Uma técnica básica é sempre verificar se há fator comum em todos os termos. No numerador temos x^{3}-x. Posso retirar x em evidência porque ambos os termos são múltiplos de x. Assim:
x^{3}-x = x\left(x^{2}-1\right).
Explicação didática: “fator em evidência” significa escrever ax+ay=a(x+y). Aqui x^{3}=x\cdot x^{2} e -x=x\cdot(-1), então fatorando x sobra \left(x^{2}-1\right). Exemplo rápido: 6a-6b=6(a-b).

Passo 3

O termo que ficou, \left(x^{2}-1\right), é uma diferença de quadrados. Há uma fórmula muito útil:
a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b).
Aplicando com a=x e b=1, obtemos
x^{2}-1=(x-1)(x+1).
Explicação didática: diferença de quadrados sempre pode ser fatorada dessa forma. Exemplo: 9-4=5 e 9-4=(3-2)(3+2)=1\cdot5=5.

Passo 4

Agora substituímos as fatorações no numerador e escrevemos a fração inteira com fatores explícitos:
\frac{x^{3}-x}{(x+1)(x-1)^{3}} = \frac{x\,(x-1)(x+1)}{(x+1)(x-1)^{3}}.
Observamos fatores idênticos no numerador e no denominador: (x+1) aparece em ambos; (x-1) aparece uma vez no numerador e com potência 3 no denominador. Podemos cancelar (x+1) completamente e cancelar um fator (x-1) do numerador com um dos três no denominador. Após cancelar, resta:
\frac{x}{(x-1)^{2}}.
Regra importante (didática): só podemos cancelar fatores quando eles são diferentes de zero; isto é, precisamos exigir que os fatores cancelados não sejam zero, ou seja, as operações são válidas apenas para x tais que os fatores do denominador original não sejam zero.

Passo 5

Anotando as condições que surgem do denominador original: (x+1)(x-1)^{3} implica que x\neq -1 e x\neq 1, porque esses valores anulariam o denominador. Portanto a simplificação é válida para todos os x exceto x=-1 e x=1.
Verificação numérica rápida (confirmação): escolha x=2. No original:
\frac{2^{3}-2}{(2+1)(2-1)^{3}}=\frac{8-2}{3\cdot1}= \frac{6}{3}=2.
Na forma simplificada:
\frac{2}{(2-1)^{2}}=\frac{2}{1}=2.
Confere.

Resposta

\displaystyle \frac{x}{(x-1)^{2}}, com x\neq -1 e x\neq 1.

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