Usando uma aproximação até os centésimos dos números irracionais \log 11 e \log _{3} 2, encontraremos, respectivamente, 1,04 e 0,63 . Diante de tais resultados, calcule |X| ?
X=2 \cdot \log _{3} 2+\log \left(e^{\ln 11}\right)-2^{\log _{2} 3} \cdot \log \left(\log _{\sqrt{2}} 2^{5,5}\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular |X| onde X é dado por
X=2 \cdot \log_{3} 2+\log\left(e^{\ln 11}\right)-2^{\log_{2} 3}\cdot\log\left(\log_{\sqrt{2}} 2^{5,5}\right)
As informações numéricas fornecidas são as aproximações, até os centésimos, de dois números irracionais:
\log 11 \approx 1,04
\log_{3} 2 \approx 0,63
Observação: aqui o enunciado usou vírgula decimal (por ex. 5,5), então seguirei esse formato. Não se faz nada ainda além de listar o que foi dado e o que se pede.

Passo 2

Vamos simplificar simbolicamente cada parte de X antes de substituir aproximações, para evitar confusão na prova. Primeiro observe a parte \log\left(e^{\ln 11}\right). A expressão e^{\ln 11} é simplesmente 11, porque a função exponencial e^{(\cdot)} e o logaritmo natural \ln(\cdot) se cancelam. Logo,
\log\left(e^{\ln 11}\right)=\log(11).
Explicação didática: \ln 11 é o número cujo exponencial natural é 11, então e^{\ln 11}=11. Depois aplicamos \log (base 10, conforme as aproximações dadas) sobre 11.

Passo 3

Agora trate o fator \;2^{\log_{2} 3}. Há uma regra muito útil: para qualquer base a>0 e b>0,
a^{\log_{a} b}=b.
Aplicando com a=2 e b=3, obtemos
2^{\log_{2} 3}=3.
Explicação didática: \log_{2}3 é o expoente que transforma 2 em 3; então elevar 2 a esse expoente dá exatamente 3.

Passo 4

Falta simplificar \log_{\sqrt{2}} 2^{5,5}. Use a definição de logaritmo e propriedades de potência. Primeiro, aplique a propriedade \log_{a} b=\dfrac{\ln b}{\ln a}:
\log_{\sqrt{2}} 2^{5,5}=\frac{\ln\left(2^{5,5}\right)}{\ln\left(\sqrt{2}\right)}.
Agora use \ln\left(2^{5,5}\right)=5,5\ln 2 e \ln\left(\sqrt{2}\right)=\ln\left(2^{1/2}\right)=\tfrac{1}{2}\ln 2. Portanto
\log_{\sqrt{2}} 2^{5,5}=\frac{5,5\ln 2}{\tfrac{1}{2}\ln 2}= \frac{5,5}{1/2}=11.
Explicação didática: ao dividir os \ln 2 eles se cancelam, restando apenas a razão dos expoentes 5,5 e 1/2, que é 11.

Passo 5

Substituindo as simplificações das Passos 2–4 na expressão original, obtemos uma forma bem mais simples de X:
X=2\cdot\log_{3}2+\log(11)-3\cdot\log(11).
Reagrupando os termos em \log(11):
X=2\cdot\log_{3}2+(1-3)\cdot\log(11)=2\cdot\log_{3}2-2\cdot\log(11).
Explicação didática: mudei -3\cdot\log(11) e somei com +\log(11) para obter -2\cdot\log(11).

Passo 6

Agora substituímos as aproximações dadas para calcular numericamente. Use as aproximações da própria questão: \log_{3}2\approx 0,63 e \log(11)\approx 1,04.
Calcule cada parcela:
2\cdot\log_{3}2 \approx 2\cdot 0,63 = 1,26,
2\cdot\log(11) \approx 2\cdot 1,04 = 2,08.
Portanto
X \approx 1,26-2,08 = -0,82.
Pequeno incentivo: calma que a conta é só soma/subtração agora, nada de mistério.

Passo 7

Queremos |X|, o valor absoluto de X. Se X\approx -0,82, então
|X| \approx 0,82.
Explicação didática: o valor absoluto tira o sinal negativo, ficando a mesma magnitude positiva.

Resposta

0,82

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