Simplifique as frações algébricas a seguir:
Passo 1
O enunciado pede para simplificar a fração algébrica
Informações dadas: o numerador é
e o denominador é
. A tarefa é reduzir (fatorar e cancelar fatores comuns) essa fração sempre respeitando os valores de
que tornam o denominador zero.
Passo 2
Primeiro passo prático: procurar fator comum em cada polinómio. Uma técnica básica é verificar o máximo divisor comum dos coeficientes numéricos.
No numerador, os coeficientes são
,
e
. O maior divisor comum é
. Então podemos colocar
em evidência do numerador:
Aqui eu apenas dividi cada coeficiente do numerador por
:
,
,
.
Passo 3
Agora precisamos fatorar a quadratic dentro dos parênteses:
.
Vou explicar um método claro (método “ac” ou de decomposição do termo do meio). Para uma quadrática geral
:
-
é o coeficiente de , -
é o coeficiente de , -
é o termo constante.
Multiplicamose procuramos dois números cuja soma seja e cujo produto seja .
Aqui
,
,
. Calculamos
. Precisamos de dois números que multiplicados dêem
e somados dêem
. Esses números são
e
, porque
e
.
Então escrevemos
Agrupando pares:
Fatorando o fator comum
:
Passo 4
Portanto o numerador totalmente fatorado é
Passo 5
Agora fatoramos o denominador
. Aplicamos o mesmo método: aqui
,
,
. Calculamos
. Procuramos dois números que multiplicados deem
e somados deem
. Esses números são
e
porque
e
.
Decompomos o termo do meio:
Agrupando:
Fatorando
:
Passo 6
Agora escrevemos a fração com numerador e denominador totalmente fatorados:
Passo 7
Cancelamos o fator comum
no numerador e no denominador. Atenção: ao cancelar, devemos lembrar que só podemos cancelar se
, ou seja,
(esse valor é proibido porque anula o denominador original). Após o cancelamento obtemos:
Passo 8
Também é preciso lembrar outro valor que anula o denominador original:
implica
. Então os valores excluídos do domínio (onde a fração original não está definida) são
e
.