Simplifique as frações algébricas a seguir:
\frac{6 x^{2}-3 x-3}{6 x^{2}+7 x+2}

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a fração algébrica
\frac{6x^{2}-3x-3}{6x^{2}+7x+2}.
Informações dadas: o numerador é 6x^{2}-3x-3 e o denominador é 6x^{2}+7x+2. A tarefa é reduzir (fatorar e cancelar fatores comuns) essa fração sempre respeitando os valores de x que tornam o denominador zero.

Passo 2

Primeiro passo prático: procurar fator comum em cada polinómio. Uma técnica básica é verificar o máximo divisor comum dos coeficientes numéricos.
No numerador, os coeficientes são 6, -3 e -3. O maior divisor comum é 3. Então podemos colocar 3 em evidência do numerador:
6x^{2}-3x-3 = 3\bigl(2x^{2}-x-1\bigr).
Aqui eu apenas dividi cada coeficiente do numerador por 3: 6/3=2, -3/3=-1, -3/3=-1.

Passo 3

Agora precisamos fatorar a quadratic dentro dos parênteses: 2x^{2}-x-1.
Vou explicar um método claro (método “ac” ou de decomposição do termo do meio). Para uma quadrática geral ax^{2}+bx+c:
  • a é o coeficiente de x^{2},
  • b é o coeficiente de x,
  • c é o termo constante.
    Multiplicamos a\cdot c e procuramos dois números cuja soma seja b e cujo produto seja a\cdot c.
Aqui a=2, b=-1, c=-1. Calculamos a\cdot c = 2\cdot(-1) = -2. Precisamos de dois números que multiplicados dêem -2 e somados dêem -1. Esses números são -2 e 1, porque -2\cdot1=-2 e -2+1=-1.
Então escrevemos
2x^{2}-x-1 = 2x^{2}-2x + x -1.
Agrupando pares:
2x^{2}-2x + x -1 = 2x(x-1) + 1(x-1).
Fatorando o fator comum (x-1):
2x^{2}-x-1 = (2x+1)(x-1).

Passo 4

Portanto o numerador totalmente fatorado é
6x^{2}-3x-3 = 3(2x+1)(x-1).

Passo 5

Agora fatoramos o denominador 6x^{2}+7x+2. Aplicamos o mesmo método: aqui a=6, b=7, c=2. Calculamos a\cdot c = 6\cdot2=12. Procuramos dois números que multiplicados deem 12 e somados deem 7. Esses números são 3 e 4 porque 3\cdot4=12 e 3+4=7.
Decompomos o termo do meio:
6x^{2}+7x+2 = 6x^{2}+3x+4x+2.
Agrupando:
6x^{2}+3x+4x+2 = 3x(2x+1) + 2(2x+1).
Fatorando (2x+1):
6x^{2}+7x+2 = (3x+2)(2x+1).

Passo 6

Agora escrevemos a fração com numerador e denominador totalmente fatorados:
\frac{6x^{2}-3x-3}{6x^{2}+7x+2} = \frac{3(2x+1)(x-1)}{(3x+2)(2x+1)}.

Passo 7

Cancelamos o fator comum (2x+1) no numerador e no denominador. Atenção: ao cancelar, devemos lembrar que só podemos cancelar se 2x+1\neq0, ou seja, x\neq -\tfrac{1}{2} (esse valor é proibido porque anula o denominador original). Após o cancelamento obtemos:
\frac{3(2x+1)(x-1)}{(3x+2)(2x+1)} = \frac{3(x-1)}{3x+2},\qquad \text{para } x\neq -\tfrac{1}{2}.

Passo 8

Também é preciso lembrar outro valor que anula o denominador original: 3x+2=0 implica x=-\tfrac{2}{3}. Então os valores excluídos do domínio (onde a fração original não está definida) são x=-\tfrac{1}{2} e x=-\tfrac{2}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{3(x-1)}{3x+2}
\displaystyle x\neq -\tfrac{1}{2},\\\ -\tfrac{2}{3}

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