Simplifique as frações algébricas a seguir:
\frac{4 x^{2}+x-3}{16 x^{2}-24 x+9}

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a fração algébrica
\frac{4x^{2}+x-3}{16x^{2}-24x+9}.
Informações dadas que vamos usar:
\text{numerador } = 4x^{2}+x-3,
\text{denominador } = 16x^{2}-24x+9.
A tarefa é fatorar numerador e denominador quando possível e cancelar fatores comuns, lembrando as restrições (valores de x que tornam o denominador zero).

Passo 2

Vamos fatorar o numerador \;4x^{2}+x-3\;. Vou usar o método de decomposição (método ac):
Calcule a\cdot c onde a=4 (coeficiente de x^{2}) e c=-3 (termo independente):
a\cdot c = 4\cdot(-3) = -12.
Procuramos dois números inteiros cujo produto seja -12 e cuja soma seja o coeficiente do termo médio b=1. Esses números são 4 e -3, pois
4\cdot(-3)=-12,\qquad 4+(-3)=1.

Passo 3

Com esses números, reescrevemos o termo do meio (+x) como +4x-3x e fatoramos por agrupamento:
4x^{2}+x-3 = 4x^{2}+4x-3x-3.
Agora agrupamos:
4x^{2}+4x-3x-3 = (4x^{2}+4x)+(-3x-3).
Fatorando cada grupo:
(4x^{2}+4x)=4x(x+1),\qquad (-3x-3)=-3(x+1).
Colocando em evidência (x+1):
4x(x+1)-3(x+1)=(4x-3)(x+1).
Logo o numerador fatorado é
4x^{2}+x-3=(4x-3)(x+1).

Passo 4

Agora fatoramos o denominador \;16x^{2}-24x+9\;. Observando, podemos checar se é um quadrado perfeito:
Calcule (4x-3)^{2}:
(4x-3)^{2}=(4x)^{2}-2\cdot(4x)\cdot 3+3^{2}=16x^{2}-24x+9.
Portanto
16x^{2}-24x+9=(4x-3)^{2}.

Passo 5

Substituindo as fatorações na fração original temos
\frac{4x^{2}+x-3}{16x^{2}-24x+9}=\frac{(4x-3)(x+1)}{(4x-3)^{2}}.
Podemos simplificar cancelando um fator comum (4x-3), desde que esse fator não seja zero. Ao cancelar obtemos
\frac{(4x-3)(x+1)}{(4x-3)^{2}}=\frac{x+1}{4x-3},\qquad \text{desde que }4x-3\neq 0.

Passo 6

Impondo a restrição que vem do denominador original, temos que 4x-3\neq 0, portanto
x\neq \frac{3}{4}.
Assim a forma simplificada, equivalente para todos os x exceto x=\tfrac{3}{4}, é \dfrac{x+1}{4x-3}.

Resposta

\dfrac{x+1}{4x-3} (com x\neq \tfrac{3}{4})

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