Simplifique as frações algébricas a seguir:
\frac{x^{4}-1}{3 x^{2}-x-2}

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a fração algébrica
\frac{x^{4}-1}{3x^{2}-x-2}.
Informações dadas:
  • Numerador: x^{4}-1.
  • Denominador: 3x^{2}-x-2.
    Objetivo: escrever a fração na forma mais simples possível, cancelando fatores comuns quando permitido e indicando as restrições (valores de x que tornam o denominador original zero).

Passo 2

Vamos fatorar o numerador. Uma ferramenta útil é a identidade da diferença de quadrados:
a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b).
Aqui podemos ver x^{4}-1 como (x^{2})^{2}-1^{2}. Aplicando a identidade:
x^{4}-1=(x^{2}-1)(x^{2}+1).

Passo 3

Continuamos fatorando a parte x^{2}-1. Novamente é uma diferença de quadrados:
x^{2}-1=(x-1)(x+1).
Logo o numerador fatorado fica
x^{4}-1=(x-1)(x+1)(x^{2}+1).

Passo 4

Agora fatoramos o denominador 3x^{2}-x-2. Podemos procurar fatores lineares do tipo (ax+b)(cx+d) com ac=3 e bd=-2, ou tentar fatorar por inspeção. Testando (3x+2)(x-1) temos:
(3x+2)(x-1)=3x^{2}-3x+2x-2=3x^{2}-x-2,
portanto a fatoração está correta e
3x^{2}-x-2=(3x+2)(x-1).

Passo 5

Escrevendo a fração com todas as fatorações encontradas, temos
\frac{x^{4}-1}{3x^{2}-x-2} = \frac{(x-1)(x+1)(x^{2}+1)}{(3x+2)(x-1)}.

Passo 6

Observe que o fator (x-1) aparece tanto no numerador quanto no denominador, então podemos cancelá-lo, desde que x-1\neq0 (ou seja, desde que x\neq1). Após o cancelamento obtemos
\frac{(x+1)(x^{2}+1)}{3x+2}.

Passo 7

Precisamos agora apontar as restrições de domínio vindas do denominador original. Os zeros do denominador original 3x^{2}-x-2 são os zeros dos fatores (3x+2) e (x-1). Assim:
  • 3x+2=0 x=-\dfrac{2}{3}.
  • x-1=0 x=1.
    Portanto os valores proibidos (onde a fração original não está definida) são x=1 e x=-\dfrac{2}{3}. Note que, embora tenhamos cancelado (x-1), isso só removeu o fator algébrico — o valor x=1 continua sendo excluído (é um “buraco” na função original).

Resposta

\displaystyle \frac{(x+1)(x^{2}+1)}{3x+2},\; x\neq1,\; x\neq -\tfrac{2}{3}

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