Simplifique as frações algébricas a seguir:
Passo 1
O enunciado pede para simplificar a fração algébrica
Informações dadas:
- Numerador:
. - Denominador:
.
Objetivo: escrever a fração na forma mais simples possível, cancelando fatores comuns quando permitido e indicando as restrições (valores deque tornam o denominador original zero).
Passo 2
Vamos fatorar o numerador. Uma ferramenta útil é a identidade da diferença de quadrados:
Aqui podemos ver
como
. Aplicando a identidade:
Passo 3
Continuamos fatorando a parte
. Novamente é uma diferença de quadrados:
Logo o numerador fatorado fica
Passo 4
Agora fatoramos o denominador
. Podemos procurar fatores lineares do tipo
com
e
, ou tentar fatorar por inspeção. Testando
temos:
portanto a fatoração está correta e
Passo 5
Escrevendo a fração com todas as fatorações encontradas, temos
Passo 6
Observe que o fator
aparece tanto no numerador quanto no denominador, então podemos cancelá-lo, desde que
(ou seja, desde que
). Após o cancelamento obtemos
Passo 7
Precisamos agora apontar as restrições de domínio vindas do denominador original. Os zeros do denominador original
são os zeros dos fatores
e
. Assim:
-
dá . -
dá .
Portanto os valores proibidos (onde a fração original não está definida) sãoe . Note que, embora tenhamos cancelado , isso só removeu o fator algébrico — o valor continua sendo excluído (é um “buraco” na função original).