Simplifique:
\ln \left(\frac{x^{2}}{y^{3}}\right)-\ln \left(\frac{x}{y}\right)

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a expressão
\ln\!\left(\frac{x^{2}}{y^{3}}\right)-\ln\!\left(\frac{x}{y}\right).
Informações relevantes fornecidas:
  • A expressão contém logaritmos naturais \ln(\cdot).
  • As quantidades dentro dos logaritmos devem ser positivas para a expressão fazer sentido: isto é, \dfrac{x^{2}}{y^{3}}>0 e \dfrac{x}{y}>0. Vamos assumir que x e y satisfazem essas condições (por exemplo x>0 e y>0), pois o enunciado foi dado de forma adequada.

Passo 2

Relembrando as propriedades de logaritmos que vamos usar (explicadas de forma didática):
  • Regra da diferença: para quaisquer u>0 e v>0,
\ln(u)-\ln(v)=\ln\!\left(\frac{u}{v}\right).
Explicação curta: como \exp é a função inversa de \ln, subtrair logaritmos equivale a tomar o logaritmo do quociente das entradas.
  • Regra da potência: para a>0 e qualquer número real k,
\ln\!\left(a^{k}\right)=k\,\ln(a).
Explicação curta: elevar a entrada do \ln a uma potência traz essa potência para frente do logaritmo como fator multiplicativo.
Sempre que eu usar essas fórmulas, u, v, a e k representam expressões ou números que estão dentro dos parênteses do \ln.

Passo 3

Aplicar a regra da diferença de logaritmos à expressão original:
\ln\!\left(\frac{x^{2}}{y^{3}}\right)-\ln\!\left(\frac{x}{y}\right) = \ln\!\left(\frac{ \dfrac{x^{2}}{y^{3}} }{ \dfrac{x}{y} }\right).
Agora simplificar o quociente de frações passo a passo. Primeiro reescreve a divisão como multiplicação pelo inverso:
\frac{ \dfrac{x^{2}}{y^{3}} }{ \dfrac{x}{y} } = \dfrac{x^{2}}{y^{3}}\cdot \dfrac{y}{x}.
Multiplicar as frações juntando numeradores e denominadores:
\dfrac{x^{2}\cdot y}{y^{3}\cdot x}.
Cancelar fatores iguais usando as potências (explicando as regras de potência usadas): ao dividir x^{2} por x temos x^{2-1}=x^{1}=x; ao dividir y por y^{3} temos y^{1-3}=y^{-2}. Assim
\dfrac{x^{2}\cdot y}{y^{3}\cdot x}=x^{1}\,y^{-2}=\dfrac{x}{y^{2}}.
Portanto a expressão dentro do logaritmo simplifica para \dfrac{x}{y^{2}}.

Passo 4

Substituir o resultado no logaritmo e, se desejar, aplicar a regra da potência para separar em somas/coeficientes de \ln:
\ln\!\left(\frac{x^{2}}{y^{3}}\right)-\ln\!\left(\frac{x}{y}\right) = \ln\!\left(\frac{x}{y^{2}}\right).
Usando a regra da potência em \ln\!\left(\dfrac{x}{y^{2}}\right) e a regra do quociente \ln\!\left(\dfrac{a}{b}\right)=\ln(a)-\ln(b) obtém-se uma forma alternativa:
\ln\!\left(\frac{x}{y^{2}}\right)=\ln(x)-\ln\!\left(y^{2}\right)=\ln(x)-2\,\ln(y).
Ambas as formas são equivalentes; a segunda é útil quando se quer expressar o resultado como combinações lineares de \ln(x) e \ln(y).

Resposta

\ln\!\left(\dfrac{x}{y^{2}}\right)
\ln(x)-2\,\ln(y)

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