Simplifique, se possível, as expressões abaixo
\frac{15 x^{2} y^{5}}{5 x^{5} y^{7}}

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a expressão
\displaystyle \frac{15 x^{2} y^{5}}{5 x^{5} y^{7}}.
Informações dadas:
  • Numerador: 15 x^{2} y^{5}.
  • Denominador: 5 x^{5} y^{7}.
    O que se quer: reduzir esta fração ao seu formato mais simples (fatores numéricos e potências simplificadas).

Passo 2

Primeiro simplificar o coeficiente numérico: dividir 15 por 5.
\frac{15}{5}=3.
Portanto a expressão fica, ainda sem tratar os expoentes,
3\cdot\frac{x^{2} y^{5}}{x^{5} y^{7}}.

Passo 3

Agora tratar as potências da mesma base. Regra usada (explique bem): para qualquer base a e expoentes m,n,
\frac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n}.
Isto vem da definição de potenciação como produto repetido; ao dividir cancelam-se fatores iguais. Aplicando a regra à variável x:
\frac{x^{2}}{x^{5}}=x^{2-5}=x^{-3}.
Explicação do expoente negativo: x^{-3}=\dfrac{1}{x^{3}}. Ou seja, um expoente negativo indica o recíproco com expoente positivo.

Passo 4

Aplicando a mesma regra à variável y:
\frac{y^{5}}{y^{7}}=y^{5-7}=y^{-2}.
E novamente y^{-2}=\dfrac{1}{y^{2}}.

Passo 5

Juntando os resultados do Passo 2, 3 e 4:
3\cdot x^{-3}\cdot y^{-2}.
Para deixar sem expoentes negativos, reescreve-se cada fator com expoente negativo como recíproco:
3\cdot x^{-3}\cdot y^{-2}=3\cdot\frac{1}{x^{3}}\cdot\frac{1}{y^{2}}.
Multiplicando os recíprocos no denominador, obtém-se a forma com expoentes positivos no denominador.

Passo 6

Verificação numérica rápida (para ganhar confiança): tomar x=2 e y=3.
Valor da expressão original:
\frac{15\cdot 2^{2}\cdot 3^{5}}{5\cdot 2^{5}\cdot 3^{7}} =\frac{15\cdot 4\cdot 243}{5\cdot 32\cdot 2187}.
Simplificando numericamente dá o mesmo que avaliar a forma final abaixo (confere a consistência dos passos).

Resposta

\displaystyle \frac{3}{x^{3}y^{2}}

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