Simplifique, se possível, as expressões abaixo
\frac{a(x+y)}{15(x-y)}

Passo 1

O que o enunciado nos dá e o que pede:
  • A expressão a ser simplificada é \dfrac{a(x+y)}{15(x-y)}.
  • Informações relevantes: aparecem as variáveis a, x e y. O denominador é 15(x-y), portanto é obrigatório que x\neq y para a expressão estar bem definida.

Passo 2

Regra-chave para simplificar frações algébricas (mini-aula):
  • Só se pode “cortar” (cancelar) fatores multiplicativos iguais no numerador e no denominador. Por exemplo, em \dfrac{2\cdot (x+1)}{4\cdot (x-1)} pode-se cancelar o 2 com o 4 (ficando \dfrac{1\cdot (x+1)}{2\cdot (x-1)}), porque 2 é um fator multiplicativo em cima e embaixo.
  • Não se pode cancelar partes que aparecem somadas ou subtraídas (por exemplo, não dá para cancelar x+1 com x-1 porque são soma/subtração).
  • Também é útil separar fatores constantes dos fatores em x,y para ver se há redução possível entre constantes.

Passo 3

Aplicando a regra ao nosso caso: escrever a constante separada
  • A expressão é \dfrac{a(x+y)}{15(x-y)}.
  • Podemos separar o fator constante a e o 15 em frações:
\dfrac{a(x+y)}{15(x-y)} = \dfrac{a}{15}\cdot \dfrac{x+y}{x-y}.
  • Isso já é uma forma usual de simplificação: isolamos a razão entre constantes \dfrac{a}{15} e mantemos a parte que depende de x,y como \dfrac{x+y}{x-y}.

Passo 4

Possível redução adicional entre a e 15 (quando ocorre)
  • Se a e 15 tiverem um divisor comum maior que 1, dá para simplificar a fração \dfrac{a}{15}.
  • Formalmente, seja d=\gcd(a,15). Então existe \tilde a e \tilde{15} inteiros tais que a=d\tilde a e 15=d\tilde{15}. Substituindo:
\dfrac{a}{15}\cdot \dfrac{x+y}{x-y} = \dfrac{d\tilde a}{d\tilde{15}}\cdot \dfrac{x+y}{x-y} = \dfrac{\tilde a}{\tilde{15}}\cdot \dfrac{x+y}{x-y}.
  • Exemplos concretos para fixar: se a=30 então d=15, \tilde a=2, \tilde{15}=1 e a expressão vira 2\cdot\dfrac{x+y}{x-y}. Se a=5 então d=5, \tilde a=1, \tilde{15}=3 e fica \dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{x+y}{x-y}.

Passo 5

Resumo prático e observações finais
  • A simplificação geral que sempre vale é escrever a constante separada e a parte com x,y separada:
\dfrac{a(x+y)}{15(x-y)} = \dfrac{a}{15}\cdot \dfrac{x+y}{x-y}.
  • Se for informado que a tem fatores comuns com 15, pode-se reduzir a fração \dfrac{a}{15} conforme explicado no passo anterior.
  • Lembrete de domínio: sempre manter x\neq y.

Resposta

\dfrac{a}{15}\cdot \dfrac{x+y}{x-y}

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