Simplifique a seguinte expressão: f(x)-f(a)x-a, x neq a, se: f(x)=1x^3, a=3.

Passo 1

O enunciado pede para simplificar o quociente de diferença f(x)-f(a)x-a com f(x)=tfrac1x^3 e a=3. A matéria envolve manipulação algébrica de frações e fatoração de diferença de cubos.

Passo 2

Primeiro, calculamos f(a):
f(3)=13^3=127

Passo 3

Em seguida, montamos o quociente de diferença e escrevemos o numerador sobre um denominador comum:
f(x)-f(a)x-3=tfrac1x^3-tfrac127x-3=27 - x^327,x^3,(x-3)

Passo 4

Agora, fatoramos o numerador usando diferença de cubos: 27 - x^3=-(x^3-27)=-(x-3)(x^2+3x+9). Então:
27 - x^327,x^3,(x-3)=-(x-3)(x^2+3x+9)27,x^3,(x-3)

Passo 5

Como xneq3, podemos cancelar o fator (x-3) em cima e em baixo, obtendo a forma final simplificada. O resultado final é uma expressão em termos de x sem o fator cancelado.

Resposta

-\frac{x2+3x+9}{27,x3}

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