Simplifique as seguintes frações algébricas:
\frac{a^{2}-2 a+1}{a^{2}-1}=

Passo 1

O que o enunciado pede: simplificar a fração algébrica
\dfrac{a^{2}-2 a+1}{a^{2}-1}.
Informações dadas: a expressão algébrica acima, com a variável \,a.
Pergunta clara: encontrar uma forma mais simples (fatorada / reduzida) equivalente a essa fração, indicando as restrições necessárias sobre \,a.

Passo 2

Vamos olhar para o numerador \,a^{2}-2 a+1. Reconhecemos aqui um quadrado perfeito. A identidade útil é:
(x-y)^{2}=x^{2}-2xy+y^{2}.
Aplicando com x=a e y=1 obtemos
(a-1)^{2}=a^{2}-2a+1.
Portanto o numerador fatorado é (a-1)^{2}.

Passo 3

Agora o denominador \,a^{2}-1. Reconhecemos uma diferença de quadrados. A identidade é:
x^{2}-y^{2}=(x-y)(x+y).
Tomando x=a e y=1 temos
a^{2}-1=(a-1)(a+1).
Portanto o denominador fatorado é (a-1)(a+1).

Passo 4

Substituindo as fatorações na fração original, escrevemos
\frac{a^{2}-2 a+1}{a^{2}-1}=\frac{(a-1)^{2}}{(a-1)(a+1)}.

Passo 5

Agora podemos simplificar cancelando o fator comum (a-1) no numerador e no denominador. Entretanto, atenção importante: só podemos cancelar quando esse fator não for zero; ou seja, para \,a\neq1. Além disso, desde o começo o denominador não pode ser zero, então também exigimos \,a\neq-1. Assim, para \,a\neq\pm1 vale:
\frac{(a-1)^{2}}{(a-1)(a+1)}=\frac{a-1}{a+1}.

Passo 6

Checagem numérica rápida (para ganhar confiança):
  • Se \,a=2, a expressão original é \dfrac{4-4+1}{4-1}=\dfrac{1}{3} e a expressão simplificada dá \dfrac{2-1}{2+1}=\dfrac{1}{3}. Batem.
  • Se \,a=0, original \dfrac{0-0+1}{0-1}=-1; simplificada \dfrac{0-1}{0+1}=-1. Batem.
  • Se \,a=1 ou \,a=-1, a fração original está indefinida porque o denominador vira zero, então esses valores não são permitidos.

Resposta

\dfrac{a-1}{a+1},\\ a\neq\pm 1

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