Um sinal modulado em ângulo é descrito por \mathrm{x}_{\mathrm{c}}(t)=10 \cos \left(2 \pi 10^{6} t+0,1 \operatorname{sen} 10^{3} \pi t\right).
Considerando \mathrm{x}_{\mathrm{c}}(t) um sinal FM com \mathrm{K}_{\{f\}}=10 \pi, determine \mathrm{m}(\mathrm{t}).

Passo 1

O enunciado dá o sinal
\mathrm{x}_{c}(t)=10\cos\bigl(2\pi 10^{6}t+0,1\sin(10^{3}\pi t)\bigr)
e informa que se trata de modulação em frequência (FM) com constante \mathrm{K}_{f}=10\pi. Queremos encontrar o sinal modulador m(t).

Passo 2

Na modulação FM, o sinal se escreve
\mathrm{x}_{c}(t)=A\cos\!\Bigl(2\pi f_{c}t+K_{f}\int_{0}^{t}m(\tau)\,d\tau\Bigr).
Comparando com o nosso \mathrm{x}_{c}(t), vemos que
K_{f}\int_{0}^{t}m(\tau)\,d\tau \;=\;0,1\sin(10^{3}\pi t).

Passo 3

Para encontrar m(t), derivamos ambos os lados em relação a t. No lado esquerdo,
\frac{d}{dt}\Bigl[K_{f}\!\int_{0}^{t}m(\tau)\,d\tau\Bigr] =K_{f}\,m(t).
No lado direito,
\frac{d}{dt}\bigl[0,1\sin(10^{3}\pi t)\bigr] =0,1\cdot10^{3}\pi\cos(10^{3}\pi t).

Passo 4

Igualando as derivadas:
K_{f}\,m(t)=0,1\cdot10^{3}\pi\cos(10^{3}\pi t).
Como K_{f}=10\pi, temos
m(t) =\frac{0,1\cdot10^{3}\pi}{10\pi}\cos(10^{3}\pi t) =\frac{100\pi}{10\pi}\cos(10^{3}\pi t) =10\cos(10^{3}\pi t).

Resposta

m(t)=10\cos\bigl(10^{3}\pi t\bigr).

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