Um sistema de abastecimento de água utiliza uma tubulação de entrada com diâmetro igual a 200 mm , que conduz água a uma velocidade de
. A água passa por uma redução de diâmetro para 100 mm na tubulação de saída. Esse sistema alimenta um tanque de coleta com volume total de
. Suponha que o escoamento seja incompressível e permanente. Calcule a velocidade de saída e a vazão de água no sistema, e com base na vazão encontrada, determine o tempo necessário para encher o tanque de coleta.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um sistema de abastecimento de água com duas tubulações de diâmetros diferentes e um tanque de coleta. O que precisamos saber para resolver isso envolve a equação da continuidade na mecânica dos fluidos. A equação da continuidade nos ajuda a entender como a velocidade do fluxo muda quando o diâmetro da tubulação muda, assumindo que o fluxo é incompressível e constante.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os dados que temos:
- Diâmetro da tubulação de entrada,
- Velocidade na tubulação de entrada,
- Diâmetro da tubulação de saída,
- Volume do tanque,
Passo 3
Vamos usar a equação da continuidade, que diz que o fluxo de entrada deve ser igual ao fluxo de saída para um fluido incompressível. A equação é:
Onde:
-
é a área da seção transversal da tubulação. -
é a velocidade do fluido.
Primeiro, calculamos as áreas das tubulações:
Calculando
:
Agora, sabemos que:
Mas
para
:
Agora, substituímos na equação da continuidade:
Resolvendo para
:
Passo 4
Agora que temos a velocidade de saída, vamos calcular a vazão (
) no sistema. A vazão é o volume que passa por um ponto por unidade de tempo e é dada por:
Usando a tubulação de entrada:
Passo 5
Finalmente, para encontrar o tempo necessário para encher o tanque, usamos a relação:
Resposta
A velocidade de saída é de aproximadamente
, a vazão de água no sistema é
e o tempo necessário para encher o tanque de coleta é de cerca de
.