2 Para um sistema amortecido, m, c e k são dados por1 \mathrm{kg}, 2 \mathrm{~kg} / \mathrm{s} e 10 \mathrm{~N} / \mathrm{m}, respectivamente. Calcule o valor de \zeta e \omega_{d}. O sistema é superamortecido, subamortecido ou criticamente amortecido ( 0, 316 ; 3 \mathrm{rad} / \mathrm{s} )?

Passo 1

O enunciado trata de um sistema massa–mola–amortecedor de segunda ordem, com massa m, coeficiente de amortecimento viscoso c e rigidez k. Temos m=1\:\mathrm{kg}, c=2\:\mathrm{kg/s} e k=10\:\mathrm{N/m}. Vamos usar as fórmulas do sistema amortecido para calcular o fator de amortecimento \zeta e a frequência amortecida \omega_{d}, e então classificar o regime de amortecimento.

Passo 2

Primeiro calculamos a frequência natural não amortecida \omega_{n}, que é
\omega_{n}=\sqrt{\frac{k}{m}}=\sqrt{\frac{10}{1}}=\sqrt{10}\approx3{,}162\:\mathrm{rad/s}.
O fator de amortecimento \zeta é dado por
\zeta = \frac{c}{2\,\sqrt{m\,k}} = \frac{2}{2\,\sqrt{1\cdot10}} = \frac{1}{\sqrt{10}}\approx0{,}316.
A frequência amortecida \omega_{d} é
\omega_{d} = \omega_{n}\,\sqrt{1-\zeta^{2}} = \sqrt{10}\,\sqrt{1-\bigl(\tfrac{1}{\sqrt{10}}\bigr)^{2}} = \sqrt{10}\,\sqrt{\frac{9}{10}} =3{,}162\cdot0{,}949\approx3{,}00\:\mathrm{rad/s}.

Passo 3

Como \zeta<1, o sistema é subamortecido.

Resposta

\zeta = 0{,}316
\omega_{d} = 3{,}00\:\mathrm{rad}/\mathrm{s}
O sistema é subamortecido.

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